Замечательные числа [Ноль, 666 и другие бестии] (Мир математики. т.21.) | страница 24

A = P(1 + R/n)^>n, где Р = 1000; R = 1,00 (100 %), n = 2. В нашем случае имеем:

А = 1000 (1 + 1,00/2)^>2 = 1000∙(1 + 0,5)^>2 = 1000∙(1,5)^>2 = 2250.

С займа в 1000 денежных единиц ростовщик теперь в конце года будет получать 2250 единиц. Разве не удивительно? При этом он ни в чем не нарушает закон.

Однако жадность Ван Жадина не знала пределов. Стремясь еще больше увеличить свои доходы, он задумался: что произойдет, если начислять проценты еще чаще? Он решил взимать проценты каждые три месяца — по 25 % четыре раза в год, соблюдая правило, по которому процентная ставка не могла превышать 100 % годовых. Сумма к уплате по займу в этом случае оказалась такой:

А = 1000∙(1 + 0,25)^>4 = 1000∙1,25^>4 = 2440 единиц.

Теперь ростовщик получит почти на 500 денежных единиц больше по сравнению с использованием простых процентов. Похоже, он напал на золотую жилу. Он решил взимать проценты 12 раз в год, то есть ежемесячно:

А = 1000∙(1 + 1,00/12)^>12 = 1000∙(1,08333…)^>12 = 2610 единиц.

Можно заметить, что чем жаднее становился Ван Жадин, тем чаще он взимал проценты и тем больше получал в итоге. Возникает неизбежный вопрос: существует ли некая предельная сумма или же ростовщик может бесконечно наращивать свой доход, взимая проценты все чаще и чаще?

Посмотрим, что получится, если ростовщик будет взимать проценты ежедневно, то есть 365 раз в год:

А = 1000 (1 + 1,00/365)^>365 = 2715 единиц.

Его доход возрос не слишком сильно по сравнению с 2610 единицами, которые Ван Жадин получит, если будет взимать проценты ежемесячно. Если взимать проценты каждый час, то общая сумма к уплате составит 2718 единиц. Можно взимать проценты ежеминутно и даже ежесекундно, но вскоре станет ясно, что существует предел, к которому будет стремиться итоговая сумма вне зависимости от того, насколько часто будут взиматься проценты. Этот предел можно выразить так:

Таким образом, максимально возможная сумма, которую мы можем получить с одной денежной единицы, если будем взимать проценты бесконечное число раз, будет равна е = 2,71828182845.

Говорят, что данное число n является отрицательным, если оно не является ни нулем, ни положительным числом, то есть его значение меньше 0. В современной нотации отрицательные числа обозначаются знаком —, положительные — знаком +, который обычно опускается. Так, число —3 — отрицательное, 3, или +3, — положительное. Ноль принято считать не положительным и не отрицательным.

Но что обозначают отрицательные числа? За пределами теоретической математики отрицательные числа обозначают противоположную величину, отсутствие, долг. Отрицательные числа используются для обозначения величин, лежащих на измерительной шкале ниже 0, например для отрицательных значений температуры или для указания долга в финансовых транзакциях. По сути, первые коммерсанты оперировали понятиями дебета и кредита, не осознавая, что вычитают отрицательные числа из положительных — их методы были практическими и конкретными. Нотация, которая сегодня используется для обозначения отрицательных и положительных чисел (+ и —), также появилась в торговле: с помощью этих знаков еще в XV веке немецкие торговцы обозначали веса, большие и меньшие среднего. Однако в математике процесс принятия отрицательных чисел проходил не так просто.