Замечательные числа [Ноль, 666 и другие бестии] (Мир математики. т.21.) | страница 21

Рассказав о любопытных числах древних времен, обратимся к числам современности. Эта глава начинается с числа, которое, подобно числу π, используется повсеместно — не только в математике, но и в повседневной жизни, хотя порой и неявно. Это число Эйлера, или число е.

Число е

Самым знаменитым числом после π является число е, которое так же, как и π, иррациональное и трансцендентное. Оно определяется как предел (1 + 1/n)^>n при n, стремящемся к бесконечности, и равняется 2,718281828… Число е впервые изучил Эйлер, однако тот факт, что оно названо по первой букве его фамилии, не более чем простое совпадение. Сам Эйлер в 1737 году доказал, что это число иррационально (позднее он привел аналогичное доказательство для числа π). Шарль Эрмит (1822–1901) в 1873 году доказал, что е также является трансцендентным.

Французский математик Шарль Эрмит (1822–1901) открыл некоторые свойства числа е.

Честь открытия этой вездесущей константы принадлежит швейцарскому математику Якобу Бернулли, который использовал ее в задаче о сложных процентах. Однако впервые это число определил и применил шотландский математик Джон Непер, введший понятие логарифма. Таким образом, число е лежит в основе натуральных логарифмов (иногда их также называют логарифмами Непера, в честь создателя).

Число е считается важнейшим в математическом анализе, в частности потому, что функция е^>х совпадает со своей производной и поэтому естественно появляется в решениях простейших дифференциальных уравнений.

Ньютон, в свою очередь, в 1665 году обнаружил, что е^>х = 1 + х + х^>2/2! + х^>3/3! + … что равносильно е = 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + … Еще одним свойством числа е является то, что оно, подобно числу π, является трансцендентным, то есть его нельзя получить как результат решения алгебраического уравнения. Следовательно, оно иррациональное, и его точное значение нельзя выразить конечной или периодической десятичной дробью. Тем не менее е можно определить множеством элегантных способов, например, таким:

е = 1 + 1/1 + 1/(1 2) + 1/(1 2∙3) + 1/(1∙2∙3∙4) + …

Упростив выражения в знаменателях, то есть заменив их факториалами, получим тот же ряд, который, как мы говорили выше, получил Ньютон (при х = 1):

е = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + …

Это число можно выразить еще гармоничнее с помощью непрерывных дробей: