Математика для гуманитариев: живые лекции | страница 19

Тетраэдр это любая треугольная пирамида. Раньше в такой форме делали молочные пакеты. Давайте посчитаем у молочного

пакета количество вершин, ребер и граней. Сколько вершин у мо­лочного пакета?

Слушатель: 4.

А.С.: В = 4. Сколько ребер у нашего тетраэдра?

Слушатели: 6.

А.С.: Без сомнения. А граней?

Слушатели: 4.

А.С.: Верна формула? 4 — 6 + 4 = 2. Верна.

А теперь рассмотрю другую пирамиду — четырехугольную (рис. 27).

У нее 5 вершин, 8 ребер и 5 граней. Формула верна: 5^8 + 5 = 2. Слушатель: А количество вершин и граней всегда совпадает? А.С.: Нет, ни в коем случае не всегда. Давайте посмотрим на куб (рис. 26, слева).

У обычного куба — 8 вершин, 12 ребер и 6 граней. (Бывают еще и необычные кубы... например, 4-мерные.)

Снова получаем два: 8 — 12 + 6 = 2.

Никуда от этой формулы не денешься. Думаю, что до Эйлера эту закономерность тоже кто-то замечал, но важно не первым за­метить, а громко об этом заявить. Так сказать, довести до сведения широких масс.

Не буду сегодня ничего больше доказывать. Вместо этого я рас­скажу о некоторых великих математических загадках прошлого.

Давайте вспомним формулу для решения квадратного уравне­ния с коэффициентами а, Ь, с:

_ ± %/fo^>2 — 4ас ^>Ж_ 2а '

На самом деле не очень важно, как конкретно она выглядит. Важно то, что это — универсальный метод решения квадратного уравне­ния. Какие бы они ни были, эти а, Ъ и с, если действие произвести, вы получите какое-то число.

Тут есть две точки зрения на эту ситуацию. Если написа­на некоторая формула, то она может случайно оказаться верной для каких-то чисел а, Ь, с, то есть для какого-то квадратного трех­члена. Для одного случайно оказалась верной, для другого ока­залась верной. Сколько раз нужно проверять, чтобы точно ска­зать, что она всегда верна? Бесконечное количество раз. Но можно сделать иначе. Можно взять эту формулу, подставить в исходное уравнение

ах^>2 + Ьх + с = О

и убедиться в том, что всё сократится, и вместо символов а, Ь, с слева возникнет ноль. Это и будет означать, если мы верим в язык символов, что формула верна. У нас всё сократилось, в любом случае, какие бы а, Ь, с мы ни взяли.

Слушатель: Простите, а для чего нужна эта формула?

А.С.: Для чего она нужна? Ну, я бы сказал так. Лично для ме­ня ответ такой: для красоты. Для того, чтобы быть уверенным, что математика может дать какие-то универсальные рецепты вычисле­ний. Сейчас, конечно, компьютеры решают задачи посложнее этого уравнения, но раньше она была нужна для быстрого вычисления.