Математика для гуманитариев: живые лекции | страница 18

На Земном шаре есть где развернуться. Одну из вершин возь­мем на Северном полюсе, две другие — на экваторе. А сторонами треугольника, как и положено в геометрии, будем считать отрез­ки двух меридианов и отрезок экватора (ведь по ним измеряется кратчайшее расстояние между точками на земной поверхности!).

Вот и получился у нас равнобедренный треугольник, у которого оба угла при основании прямые. А угол при Северном полюсе любой. Так давайте возьмем его тоже прямым!!!

У нарисованного нами треугольника все углы прямые. Такого не бывает на плоскости. Это геометрия шара, поверхности шара, и вот с этой геометрией связан рассматриваемый нами факт. Он открывает очень глубокую теорию дифференциальную геомет­рию, а также теорию римановых многообразий. Вернемся к фут­больному мячу, состоящему из х шестиугольников и у пятиуголь­ников, и к нашей «неожиданной теореме».

Слушатель: Кратен ли х чему-нибудь?

А.С «ж» может быть равен чему угодно. А вот «у» обязательно равен 12.

Слушатель: То есть четное, нечетное не важно.

А.С.: Абсолютно.

Слушатель: То есть мы можем сделать шар из 130 шестиуголь­ников и 12 пятиугольников, или из 131 и 12?

А.С.: Да, надо подумать и аккуратненько вклеить эти наши 12 пятиугольников.

Слушатель: А связано ли это с количеством сторон в пяти­угольнике и в шестиугольнике?

А.С.: Безусловно. Терпение, доказывать этот факт мы будем позже. Пока что нам нужна подготовительная работа, проделан­ная математиком Эйлером. Леонард Эйлер обнаружил следующий факт. Что такое многогранник. каждый понимает. Любой много­гранник это как бы изломанная поверхность шара. Эйлер нари­совал многогранник на шаре: спроецировал ребра и вершины мно­гогранника. лежащего внутри шара, на поверхность шара. (Слово «спроецировал» означает следующую процедуру: расположил вну­три стеклянного шара макет многогранника, сделанный из прово­лочек. и зажег в центре шара маленькую лампочку. На поверхно­сти шара будут видны тени от ребер это и есть проекции ребер.)

И с помощью этого приема доказал замечательную теорему с совершенно удивительной формулировкой. Называется теорема «Формула Эйлера для многогранника».

Пусть у многогранника будет: В количество вершин. Р количество ребер. Г количество граней. Эти количества мож­но непосредственно подсчитать, глядя на модель многогранника. Тогда обязательно будет

В^Р + Г = 2.

Независимо от того, какой мы взяли многогранник. Теорема верна и для куба, и для тетраэдра (рис. 26). и для любого другого мно­гогранника. имеющего границей «изломанную поверхность шара». Всегда это выражение будет равно 2.