Новый взгляд на мир. Фрактальная геометрия | страница 22
Геодезическая линия (кратчайший путь между двумя данными точками) от Парижа до Гавайских островов проходит через Гренландию и Канаду.
Чтобы найти кратчайшую линию, соединяющую две точки Земли, нужно найти плоскость, проходящую через эти точки и центр Земли, затем провести линию пересечения найденной плоскости и поверхности Земли, как показано на следующем рисунке:
Если говорить о параллельности прямых, то нетрудно заметить, что в сферической геометрии подобного понятия не существует, так как любые две «прямые» (большие круги) пересекаются. Треугольники на поверхности земного шара могут иметь два или даже три прямых угла: чтобы построить такой треугольник, достаточно поместить две его вершины на экваторе, а третью — на одном из полюсов. В отличие от евклидовой геометрии, где все треугольники имеют сумму углов, равную 180°, в гиперболической и сферической геометрии все обстоит совершенно иначе. В сферической геометрии сумма углов треугольника всегда больше 180° и различается у разных треугольников. В одних треугольниках она может быть равной 190°, в других — 250°. Однако доказано, что два треугольника одной и той же площади имеют равную сумму углов.
Треугольник, построенный на поверхности сферы. Сумма углов этого треугольника больше 180°.
ГЕОМЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВА
Какая из трех геометрий «настоящая»? Какая из трех геометрий, о которых мы рассказали выше, лучше описывает реальный мир? Со временем стало понятно, что геометрия Евклида является полностью приемлемым приближением реальности, если речь идет об объектах, сопоставимых по масштабу с Землей, но на больших расстояниях все уже не столь очевидно. Если мы попробуем измерить расстояния на поверхности сферы и найти кратчайшие расстояния на ней, то поймем, что наш мир описывается эллиптической геометрией (геометрией Римана). При путешествиях со скоростями, близкими к скорости света, пространство-время будет описываться геометрией Минковского, которая является неевклидовой. Но что происходит во Вселенной вдали от поверхности Земли, если не брать в расчет время? Действительно ли мы живем во вселенной, пространство которой подчиняется законам геометрии Евклида?
Гаусс по просьбе короля Ганновера некоторое время занимался геодезическими исследованиями. В ходе исследований ему потребовалось измерить углы треугольника, образованного тремя горными вершинами, отстоящими друг от друга на расстояние около 50 миль. Отклонение полученной суммы углов от 180° было меньше допустимой ошибки измерений; таким образом, найденная сумма углов треугольника соответствовала всем трем гипотезам. В свою очередь, Лобачевский заметил, что треугольник, вершины которого расположены на Земле, будет слишком мал, чтобы заметить расхождения с евклидовой геометрией. Лобачевский занялся астрономическими исследованиями, но ему также не удалось прийти к какому-либо выводу, так как разница при измерении расстояний между Землей и Солнцем составила менее одной тысячной секунды. Тогда он обратился к треугольникам большего размера и занялся наблюдениями параллакса звезд. Однако ни ему, ни кому-то другому не удалось найти треугольник, где сумма углов отличалась бы от 180°, несмотря на то что в гиперболической геометрии эта разница возрастает с увеличением площади треугольника.
