Согласно теории относительности, нашу Вселенную наилучшим образом описывает эллиптическая геометрия (геометрия Римана). Б. Льюис говорил: «В общей теории относительности Эйнштейна геометрия пространства — это риманова геометрия. Свет движется вдоль геодезических линий, а кривизна пространства зависит от природы материи, его составляющей».
Эрлангенская программа. Что же такое геометрия?
Для утверждения в должности профессора факультета философии и члена совета Эрлангенского университета Феликс Клейн (1849–1925) в 1872 г. написал доклад (правда, он так и не был зачитан публично), который можно считать одним из ключевых трудов по геометрии наряду с диссертацией Римана и «Началами» Евклида.
В своем докладе Клейн попытался дать формальное определение геометрии, выйдя за рамки интуитивных представлений. Он систематизировал множество появившихся в то время разделов геометрии в так называемой эрлангенской программе, где привел их классификацию в зависимости от свойств, которые остаются неизменными для определенных групп преобразований[12]. Понятие группы было известно до Клейна, но именно он открыл фундаментальную взаимосвязь геометрии и групп преобразований. Так, евклидова геометрия изучает свойства фигур и тел, которые не изменяются при движениях без деформации. К подобным движениям, которые называются изометрическими преобразованиями (в переводе с греческого «изометрия» означает «равного размера»), относится перенос, симметрия, вращение и их композиции. Инвариантами этих преобразований являются, к примеру, расстояние между точками, площадь поверхности, углы между прямыми и так далее.
Аналогично аффинная геометрия изучает свойства фигур, инвариантные относительно аффинных преобразований (к ним относятся изометрические преобразования, растяжения и сжатия). Проективная геометрия изучает свойства, инвариантные относительно группы проекций, топология занимается изучением инвариантов непрерывных преобразований.
Помимо прочего, Клейн доказал, что евклидову геометрию, аффинную геометрию и неевклидовы геометрии можно считать частными случаями проективной геометрии. Если не вдаваться в детали, то доказательство основано на рассмотрении преобразований проективного пространства, которые оставляют неизменным определенное коническое сечение, называемое абсолютным. В зависимости от типа конического сечения результатом будет тот или иной раздел геометрии.
Если оставить в стороне технические вопросы, то это утверждение приводит к очень важному результату: геометрия Евклида является согласованной (непротиворечивой) тогда и только тогда, когда непротиворечивыми являются неевклидовы геометрии. Так был положен конец спорам о том, имеют ли смысл неевклидовы геометрии. Тем не менее еще несколько лет вопрос оставался открытым, так как некоторые исследователи считали рассуждения Клейна ошибочными.
