Новый взгляд на мир. Фрактальная геометрия | страница 21
Например, для расчета евклидовой метрики, то есть расстояния между двумя точками с известными координатами, нужно построить треугольник: одной стороной этого треугольника будет отрезок, соединяющий данные точки, двумя другими сторонами будут проекции этого отрезка на линии, которые параллельны перпендикулярным осям координат и проходят через данные точки. Таким образом, в полученном треугольнике можно будет вычислить гипотенузу по теореме Пифагора, как показано на следующем рисунке:
Евклидово расстояние (метрика) между точками Р и Q равно гипотенузе прямоугольного треугольника, получаемого построением прямых, параллельных осям координат X, Y и проходящих через точки Р и Q. Длина искомой гипотенузы вычисляется по теореме Пифагора.
МЕТРИКА МАНХЭТТЕНА
Еще одним примером метрики, эквивалентной евклидовой метрике, является так называемое манхэттенское расстояние, рассчитываемое по формуле d((х>1,у>х), (х>2,у>2)) = |x>2 - x>1 | + |y>2 - y>1|. Эта метрика измеряет расстояние, пройденное пешеходом между двумя точками в городе, разделенном на прямоугольные кварталы. И снова мы видим, что плоскость сама по себе не является евклидовой или неевклидовой, а ее свойства зависят от используемой метрики.
* * *
Риман вновь изучил основные положения евклидовой геометрии. Проанализировав второй постулат, гласящий, что «ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой», он заметил, что это положение следует отличать от утверждения «всякая прямая является бесконечной». Он пришел к выводу, что в рамках этого нового подхода ко второму постулату необходимо отказаться от пятого постулата. Риман заменил его следующей фразой: «любые две прямые пересекаются». Путем подобных рассуждений он пришел к так называемой эллиптической геометрии.
Этот концептуальный переход будет проще понять, если мы рассмотрим геометрию поверхности Земли. Какую форму имеют кратчайшие линии, соединяющие две данные точки, то есть геодезические линии? Учтем, что они будут иметь наименьшую кривизну, а наименьшей кривизне соответствует наибольший радиус окружности. Следовательно, эти линии будут лежать на больших кругах земного шара, например на экваторе или меридиане. Этот результат, относящийся к сферической геометрии, прекрасно известен пилотам дальнемагистральных самолетов. Если самолет находится в одной точке экватора, а нужно попасть в другую точку экватора, то пилот должен следовать вдоль линии экватора. Однако если самолет находится в точке с координатой 30° северной широты, а пункт назначения находится на этой же широте, то кратчайший путь будет проходить ближе к северу. Теперь становится понятно, почему самолеты, следующие, например, из Парижа на Гавайи, летят через Гренландию, хотя Гавайи находятся южнее Парижа.
