Новый взгляд на мир. Фрактальная геометрия | страница 17

За год до публикации «Геометрии» Декарта Ферма писал: «Всякий раз, когда в заключительном уравнении имеются две неизвестные величины, налицо имеется геометрическое место, прямая или кривая».

Некоторое время в механике и других областях физики геометрия занимала второстепенное положение по отношению к так называемым дифференциальным уравнениям[10]. Это положение вещей изменил Гаусс, «принц математиков»: он заложил фундамент геометрии, в которой изучались дифференцируемые функции, иными словами, дифференциальной геометрии. Гаусс изучал кривые и поверхности в пространстве и определил базовое обозначение меры кривизны поверхности. Например, с увеличением радиуса окружности ее кривизна уменьшается. Продолжив эти рассуждения, получим, что кривизна прямой равна нулю, что и следовало ожидать.

Выполнить расчет кривизны поверхности сложнее. Если говорить упрощенно, то для двух точек данной поверхности кратчайшая кривая, соединяющая две эти точки (так называемая геодезическая линия) и не выходящая за пределы данной поверхности, будет являться кривой наименьшей кривизны. Это утверждение является более общим по отношению к постулату, который гласит, что на евклидовой плоскости кратчайшей линией между двумя точками является прямая[11]. В такой трактовке евклидово пространство — это частный случай пространства, имеющего нулевую кривизну.

На основе этих рассуждений Гаусс доказал, что существуют поверхности, на которых сумма углов треугольников, образованных геодезическими линиями, превышает 180° либо, напротив, меньше 180°. Можно доказать, что из пятого постулата Евклида следует, что сумма внутренних углов треугольника равна 180°, поэтому открытие Гаусса противоречит пятому постулату. Судя по дневникам Гаусса, примерно в 1824 г. он пришел к следующему выводу: доказать пятый постулат, исходя из остальных постулатов, нельзя, так как он не зависит от них. Кроме того, можно создать полностью логичную геометрию, где этот постулат невыполним, и при этом не возникнет никаких противоречий с остальными четырьмя. Хотя в те годы Гаусс уже считался ведущим математиком Европы, он решил, что общество не готово к открытию такого масштаба, и не опубликовал свои записи.

Некоторые исследователи утверждают, что именно Гаусс первым рассмотрел вероятность того, что наша Вселенная имеет неевклидову геометрию. Говорят, что он поднялся на три горные вершины с теодолитом, чтобы измерить углы треугольника, образованного этими горами, но точность измерений оказалась недостаточной, чтобы сделать какие-то выводы. Любопытно, что можно экспериментально доказать, что физическое пространство не является евклидовым, но доказать его «евклидовость» не получится. Евклидовы пространства нулевой кривизны — это граничный случай, разделяющий пространства положительной и отрицательной кривизны. В измерение кривизны, как и в любое другое измерение, может вкрасться ошибка: всегда будет существовать вероятность, что отклонение от нуля слишком мало, чтобы его можно было обнаружить. Следовательно, нельзя доказать экспериментально, что данное пространство однозначно является евклидовым.