Вскоре после Гаусса еще один ученый пришел к тому же выводу, и он нашел в себе смелость опубликовать свои изыскания. В его труде пятый постулат Евклида был заменен следующим: «Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, параллельные ей». Речь идет о геометрии Лобачевского. В действительности к этому выводу независимо друг от друга пришли два математика: Николай Лобачевский и венгр Янош Бойяи, сын Фаркаша Бойяи, друга самого Гаусса. Фаркаш Бойяи увидел в работах Лобачевского свои же идеи и настолько заинтересовался геометрией Лобачевского, что в 62 года начал изучать русский язык, чтобы прочесть его труды в оригинале. На это ему понадобилось всего несколько месяцев.
Бойяи и Лобачевский не пытались доказать пятый постулат Евклида исходя из других постулатов. Вместо этого они заметили, что постулат о параллельности прямых должен быть независимым от остальных. До них в отличие от многих своих предшественников этим же путем следовал Иоганн Ламберт. Ученые пришли к выводу, что независимость пятого постулата имеет большое значение: можно заменить его другим постулатом о параллельности прямых, возможно даже противоположным по смыслу, получить новую непротиворечивую систему постулатов и, как следствие, полностью непротиворечивую геометрию. Независимо друг от друга Бойяи и Лобачевский выбрали один и тот же альтернативный постулат и исследовали полученную неевклидову геометрию, приведя для ее теорем доказательства, аналогичные доказательствам Евклида.
АБСОЛЮТНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Абсолютная геометрия — это часть геометрии, которая выводится из первых четырех постулатов Евклида. Она называется абсолютной, так как является общей частью евклидовой и неевклидовой геометрий. Как мы уже показали, отличие между ними заключается лишь в пятом постулате о параллельности прямых.
Большое историческое значение имеет четырехугольник Саккери, рассмотренный Джироламо Саккери, и четырехугольник Ламберта, рассмотренный немецким математиком Иоганном Ламбертом. Они использовались для доказательства пятого постулата, но безуспешно. Саккери пытался показать, что отрицание пятого постулата ведет к противоречию, и тем самым доказать его. Однако он совершил ошибку, посчитав некоторые результаты неверными лишь на основании того, что они противоречили интуиции.
Ламберт, напротив, в посмертно изданной книге «Теория параллельных линий» (1766) приводит похожие рассуждения, что и Саккери, но не содержащие ошибок. По-видимому, он представлял, что можно сформировать геометрию без пятого постулата, так как писал: «Я склоняюсь к мысли, что гипотеза острого угла верна на некоторой сфере воображаемого радиуса». Этот немецкий математик также открыл несколько интересных формул, описывающих треугольники гиперболической геометрии, показав, что сумма углов в таких треугольниках всегда меньше 180°. По формуле Ламберта для этих треугольников справедливо следующее соотношение:
