Золотое сечение. Математический язык красоты | страница 68
Для любого количества, разделенного таким образом, всегда имеются три члена, упорядоченные по непрерывной пропорциональности, так что один член будет общим разделенным количеством, то есть большим краем, которым в нашем случае является 10, а другой член будет большей частью, то есть средним, в нашем случае корень из 125 за вычетом 5, а третий — меньшим, то есть 15 за вычетом корня из 125. Между ними получится та же самая пропорция, в которой первый член так относится ко второму, как второй к третьему, и обратно: третий ко второму как второй к первому. И если мы умножим меньший член, 15 за вычетом корня из 125, на больший, 10, будет то же самое, как если мы умножим средний член, то есть корень из 125 за вычетом 5, сам на себя, так как каждое умножение дает нам 150 за вычетом корня из 12500, как и утверждает наша пропорция. Поэтому мы говорим, что 10 разделено в пропорции, имеющей середину и два края, с большей частью, равной корню из 125 за вычетом 5 и с меньшей — 15 за вычетом корня из 125, и обе части иррациональны. И это все, что можно сказать о количестве, разделенном таким образом.
Шестая книга «Начал» Евклида содержит евдоксову теорию пропорций и планиметрию. В этой книге Евклид излагает теоремы подобия треугольников и построение третьего, четвертого и среднего пропорционального. Это первое описание золотой пропорции в математике. Оно дано в Определении 3 в наиболее классической форме, как «крайнее и среднее отношение», а в Предложении 30 Евклид приводит пример деления отрезка в золотой пропорции.
Книга VI
Определения
3. Говорится, что прямая делится в крайнем и среднем отношении, если целое относится к большему отрезку как больший отрезок к меньшему.
Предложения
Предложение 30. Данную ограниченную прямую рассечь в крайнем и среднем отношении.
Пусть данная ограниченная прямая будет АВ.
Тогда требуется рассечь прямую АВ в крайнем и среднем отношении. Построим на АВ квадрат ВС и приложим к АС равный ВС параллелограмм CD с избытком — фигурой AD, подобной ВС.
ВС же есть квадрат; значит, и AD квадрат. И поскольку ВС равен CD, то отнимем от обоих общее СЕ; значит, оставшийся параллелограмм BF равен оставшемуся параллелограмму AD. И оба равноугольны; значит, в BF и AD стороны при равных углах обратно пропорциональны; следовательно, как и FE к ED, то и АЕ к ЕВ. Но FE равна АВ, и ED равна АЕ. Значит, как и ВА к АЕ, так и АЕ к ЕВ. Но АВ больше АЕ; значит, и АЕ больше ЕВ.
