Я утверждаю, что между ними имеются две пропорции: одна от а до Ь, то есть от 9 до 6, которую мы в нашей работе называем полуторной, когда больший член содержит меньший и его половину, так как 9 содержит 6 и еще 3, половину от 6, поэтому мы называем ее полуторной. Существует также пропорция от второго, Ь, до третьего, с, то есть от 6 до 4, еще одна полуторная пропорция. Подобны они или нет, нас в данный момент не интересует, потому что мы намерены только показать, что между тремя членами одного и того же рода обязательно имеются две пропорции. Я утверждаю также, что наша божественная пропорция соблюдает одни и те же условия, а именно: между тремя ее членами — средним и двумя крайними — всегда содержатся две пропорции и всегда одного и того же обозначения. И в других пропорциях, будь они непрерывными или обособленными, это происходит бесконечно разными способами, потому что иногда между тремя членами она будет двойной, иногда тройной, и так далее для всех общих типов. Но между серединой и краями нашей пропорции не может быть никаких вариаций, как мы далее увидим (…).
Поэтому мы должны знать, чтобы уметь распознать ее среди различных количеств, что между тремя ее членами обязательно имеется непрерывная пропорциональность, а именно: произведение меньшего члена на сумму меньшего и среднего равно квадрату среднего, и, следовательно, данная сумма обязательно будет ее большим членом. И когда мы находим три количества любого типа, упорядоченных таким образом, мы утверждаем, что они находятся в крайнем и среднем отношении, их больший член всегда равен сумме меньшего и среднего, так что можно сказать, что больший член является целым, разделенным на две части, то есть на меньший и средний члены этой группы. Следует заметить, что эта пропорция не может быть рациональной, ибо нельзя меньший член по отношению к среднему выразить каким-либо числом, даже если больший член рационален, поэтому они всегда будут иррациональны, как будет ясно из дальнейшего.
Как мы понимаем количество, разделенное согласно пропорции, имеющей середину и два края
Мы должны хорошо знать, что для того, чтобы разделить количество согласно пропорции, имеющей середину и два края, надо образовать две такие неравные части, чтобы произведение меньшей на всю неразделенную величину было равно квадрату большей части. И хотя иногда вместо деления данного количества согласно пропорции, имеющей середину и два края, мы хотим лишь образовать две части с таким условием, чтобы произведение одной части на всю данную величину было равно квадрату другой части, тот, кто хорошо это понимает и является экспертом в данной области, должен свести предложение к нашей пропорции, потому что это никаким другим способом не может быть истолковано. Например, когда говорят: «Разделим 10 на две части так, что, умножая одну часть на 10, мы получим столько, сколько умножая другую часть на саму себя» и рассматривают этот случай и ему подобные в соответствии с предписаниями спекулятивной практики алгебры, или альмукабалы, и с правилом, которое мы по этому вопросу поместили в нашей работе, то получают следующее решение: меньшая часть равна 15 без корня из 125, а большая часть равна корню из 125 без 5. Части, описанные таким образом, иррациональны, и в искусстве они называются вычетами, коих насчитывается 6 видов. Обычно эти части выражаются следующим образом: меньшая равна 15 за вычетом корня из 125. Это означает, что, принимая корень из 125 за число немного большее, чем 11, и вычитая его из 15, мы получим чуть более 3, или чушь меньше 4. А большая часть выражается так: корень из 125 за вычетом 5, и это означает, что, принимая корень из 125 за число немного большее, чем как уже было сказано, и вычитая из него 5, мы получим разность чуть более 6, или чуть меньше 7. Но подобные действия умножения, сложения, вычитания и деления вычетов, двучленов, биномов, корней и прочих рациональных и иррациональных количеств, сложенных и разложенных разными способами, уже были рассмотрены в нашем предыдущем сочинении, и я не стану их повторять в этом трактате, так как мы намереваемся говорить лишь о новых предметах и не возвращаться к уже сказанному.
