Том 18. Открытие без границ. Бесконечность в математике | страница 59
* * *
МЫСЛИТЬ — ЭТО БОЛЬШЕ, ЧЕМ ГОВОРИТЬ
Согласно теории множеств Кантора, множество всех возможных слов, как произнесенных, так и записанных на бумаге, является счетным. Если учитывать, что множество знаков (букв, символов и т. д.) в языке конечно, то очевидно, что на его основе можно сформировать счетное множество. Другое дело — множество вещей, о которых мы можем подумать. Оно, очевидно, не является счетным. Мы можем представить, например, множество окружностей на плоскости, имеющее мощность континуум. Таким образом, все, что мы можем сказать, поддается упорядочению, а все, о чем мы можем подумать, не поддается или поддается лишь частично. Следовательно, можно упорядочить лишь часть наших мыслей, а большинство из них принадлежит к миру хаоса.
Буквы алфавита образуют ограниченное и, следовательно, счетное множество.
* * *
Ты всем известен, но никем не охвачен, ибо умеренное кажется большим, большое — бесконечным и еще раз бесконечным.
«Герой». Бальтазар Грасиан (1601–1658)
Кантор знал, что ни вещественная прямая, ни какой-либо из ее отрезков не являются счетными. Далее он совершил гигантский шаг и встретился с бесконечностью лицом к лицу.
Напомним, что для того чтобы получить множество вещественных чисел, необходимо добавить к множеству рациональных чисел множество иррациональных чисел, которые нельзя представить в виде частного двух целых. Множество вещественных чисел также является бесконечным и плотным. Однако оно не является счетным, в отличие от двух предыдущих, то есть этому множеству никоим образом нельзя поставить в соответствие ряд натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, …
Поэтому Кантор сформулировал следующую задачу: имеются бесконечные множества, в каждом из которых число элементов одинаково, например множества натуральных, четных или рациональных чисел. Однако в этом случае появляется новое множество вещественных чисел, которое также является бесконечным, но в нем больше элементов, чем в этих трех множествах. Здесь Кантор вводит одну из самых революционных идей за всю историю математики: возможно, не все бесконечности одинаковы, а некоторые из них больше, чем другие? В качестве отправной точки он использовал бесконечное множество натуральных чисел. Затем он доказал, что множество вещественных чисел
