Том 18. Открытие без границ. Бесконечность в математике | страница 58
Схема, придуманная Кантором, такова. Нужно построить таблицу рациональных чисел (напомним, что речь идет о дробях) следующим образом: в первой строке записываются дроби, числитель которых равен 1, во второй — дроби, числитель которых равен 2, в третьей — 3 и т. д. Вычеркнем из каждой строки повторяющиеся дроби. Например, 2/2 — это то же самое, что 1/1 или 3/3, 2/4 — то же, что и 1/2, и т. д. Построив таблицу, обойдем все числа в порядке, указанном стрелками, начиная с 1/1. Мы обойдем все рациональные числа ровно один раз. Таким образом, взаимно однозначное соответствие между натуральными и рациональными числами устанавливается следующим образом:
1 —> 1/1
2 —> 1/2
3 —> 2/1
4 —> 3/1
5 —> 1/3
…
Самое удивительное в том, что мы установили взаимно однозначное соответствие между двумя множествами, одно из которых является дискретным (множество натуральных чисел), а другое — плотным (множество рациональных чисел). Здесь бесконечность начинает понемногу приподнимать завесу тайны над своими удивительными загадками. Интуиция подсказывает, что счетными могут быть только дискретные множества, и тот факт, что плотное множество
По этой причине с открытым Кантором понятием счетности оказалось тесно связано понятие непрерывности. Неизбежно возник вопрос: если расширить множество рациональных чисел иррациональными, будет ли полученное множество счетным?
Иными словами, можно ли говорить, что М — счетное множество?
Нет, это не так, и Кантор это доказал с помощью метода, схожего с тем, который он использовал при доказательстве счетности множества