Лекции по физике 4a | страница 41

Значение этого принципа обусловлено тем фактом, что каж­дое собственное колебание — очень простая вещь — это просто синусоидальное движение во времени. По правде говоря, даже общее движение струны — еще не самая сложная вещь; суще­ствует движение куда более сложное, скажем такое, как виб­рация крыльев самолета. Тем не менее даже у крыльев само­лета можно обнаружить некие собственные кручения с опре­деленными частотами. А если так, то полное движение можно рассматривать как суперпозицию гармонических колебаний (за исключением тех случаев, когда вибрация настолько велика, что система уже не может рассматриваться как линейная).

§ 3. Двумерные собственные колебания

Сейчас мы перейдем к рассмотрению очень интересного поведения собственных гармоник в двумерных колебаниях. До сих пор мы говорили только об одномерных колебаниях: натянутой струне или звуковых волнах в трубе. В конце концов мы должны добраться до трех измерений, но сначала давайте остановимся на более легком этапе — этапе двумерных колеба­ний. Возьмем для большей определенности прямоугольный ре­зиновый барабан, перепонка которого закреплена по краям так, что на прямоугольном крае барабана она перемещаться не может. Пусть размеры прямоугольника будут

равны а и 6, как это показано на фиг. 49.4.

Фиг. 49.4. Колебание прямо­угольной пластинки.

Прежде всего, каковы ха­рактеристики возможного движения? Можно начать с того же, с чего мы начали, когда рассматривали пример со стру­ной. Если бы никакого закрепления не было вовсе, то можно было бы ожидать появления волн, бегущих в некото­ром направлении, например синусоидальной волны, опи­сываемой функцией ехр(iwt) ехр[-i(k_>чx)+i(k_>yy)], направле­ние движения которой зависит от относительной величины чисел k_>xи k_>y. А как теперь сделать узел на оси х, т. е. при y=0? Используя ту же идею, что и для одномерной струны, можно добавить волну, описываемую комплексной функцией

-exp(iwt)ехр[-i(k_>xx)-i(k_>yy)].

Суперпозиция этих волн в результате дает нулевое переме­щение при y=0 независимо от того, каковы будут значения х и t. (Хотя эти функции будут определены и для отрицательных значений у там, где никакого барабана нет и колебаться не­чему, но на это можно не обращать никакого внимания. Ведь нам хотелось устранить перемещение при у=0, и мы добились этого.) Вторую функцию в этом случае можно рассматривать как отраженную волну.

Однако нам нужно получить узел не только на линии y=0, но и на линии