Лекции по физике 4a | страница 42

=b. Как же это сделать? Решение такой задачи связано с некоторыми вещами, которыми мы занимались при изучении отражения света от кристалла. Волны, гасящие друг друга при y=0, могут сделать то же самое и при у=b, только когда 2bsin 0 равно целому числу длин волн l, (q — угол, пока­занный на фиг. 49.4):

ml=2bsinq, m=0, 1, 2, .... (49.7)

Точно таким же образом, т.е. сложением еще двух функций [-exp(iwt)]exp[i(k_>xx)+ i(k_>yy)] и [+exp(ict)}exp[i(k_>xx)-i(k_>yy)], каждая из которых представляет отражение другой от линии х=0, можно устроить узел и на оси у. Условие того, что линия х=а будет тоже узловой, получается так же, как и условие при у=b, т. е. 2acosq должно быть равно целому числу длин волн:

nl = 2acosq. (49.8)

Тогда окончательный результат таков: волны, «заключенные» в ящике, имеют вид стоячей волны, т. е. образуют какие-то определенные собственные гармоники.

Таким образом, если мы хотим иметь дело с собственными гармониками, то должны удовлетворить двум написанным выше условиям. Для начала давайте найдем длину волны. Ис­ключив из уравнений (49.7) и (49.8) угол q, можно выразить длину волны через a, b, nи т. Легче всего это сделать так: сначала разделить обе части уравнений соответственно на 2bи 2a, а затем возвести их в квадрат и сложить. В результате мы получим уравнение

sin^>2q+cos^>2q =1=(nl/2a)^>2+(ml/2b)^>2,

которое легко разрешить относительно l:

Итак, мы определили длину волны через два целых числа, а по длине волны мы немедленно получаем частоту w, ибо, как известно, частота равна 2pc, деленной на длину волны.

Этот результат настолько важен и интересен, что необхо­димо теперь получить его строго математически без использо­вания аналогий с отражением. Давайте представим колебание в виде суперпозиции четырех волн, подобранных таким обра­зом, чтобы все четыре линии x=0, х=а, y=0 и у=bбыли узло­выми. Потребуем еще, чтобы все эти волны имели одинаковую частоту, т. е. чтобы результирующее движение представляло собственное колебание. Из главы об отражении света мы уже знаем, что функция exp(iwt)exp[-i(k_>xx)+i(k_>yy)] опи­сывает волну, идущую в направлении, указанном на фиг. 49.4. По-прежнему остается справедливым уравнение (49.6), т. е. k =w/c, с той разницей, что теперь

k^>2=k^>2_>x+k^>2_>y. (49.10)

Из рисунка ясно, что k_>x=kcosq, a k_>y=ksinq.

Таким образом, наше выражение для перемещения прямо­угольной перепонки барабана (назовем это перемещение j запишется в виде

Хотя выглядит это довольно неприглядно, сумма таких экспо­нент, в сущности, не так уж громоздка. Их можно свернуть в синусы, так что перемещение, как оказывается, приобретает вид