Лекции по физике 4a | страница 23
Фиг. 48.1. Суперпозиция двух косинусообразных волн с отношением частот 8:10. Точное повторение колебаний внутри каждого биения для общего случая не типично.
Математически нам нужно взять сумму двух косинусов и как-то ее перестроить. Для этого потребуются некоторые полезные соотношения между косинусами. Давайте получим их. Вы знаете, конечно, что
e>i>(>a>+>b>)=e>iae>ib>(48.1)
и что вещественная часть экспоненты e>iaравна cosа, а мнимая часть равна sin а. Если мы возьмем вещественную часть ехр [-i(a+b)], то получим cos (a+b), а для произведения
e>iae>ib=(cosa+isin a)(cosb+isinb)
мы получаем cosacosb-sinasinb плюс некоторая мнимая добавка. Сейчас, однако, нам нужна только вещественная часть. Таким образом,
cos(a+b)=cosacosb-sinasinb. (48.2)
Если теперь изменить знак величины b, то, поскольку косинус при этом не изменяет знака, а синус изменяет знак на обратный, мы получаем аналогичное выражение для косинуса разности
cos(a-b)=cosacosb+sinasinb. (48.3)
После сложения этих двух уравнений произведение синусов сократится, и мы находим, что произведение двух косинусов равно половине косинуса суммы плюс половина косинуса разности
cosacosb=>1/>2cos (а+b)+>1/>2cos (a-b). (48.4)
Теперь можно обернуть это выражение и получить формулу для cosa+cosb, если просто положить a = а+b, a b= а-b, т. е. a =>1/>2(a+b), a b=>1/>2(a-b):
cosa+cosb=2cos>1/>2(a+b) cos>1/>2(a-b). (48.5)
Но вернемся к нашей проблеме. Сумма cosw>1t и cosw>2t равна
cosw>1t+cosw>2t=2cos>1/>2(w>1+w>2)tcos>1/>2(w>1-w>2)t. (48.6)
Пусть теперь частоты приблизительно одинаковы, так что >1/>2(w>1+w>2) равна какой-то средней частоте, которая более или менее та же, что и каждая из них. Но разность w>1-w>2 гораздо меньше, чем w>1 и w>2, поскольку мы предположили, что w>1 и w>2 приблизительно равны друг другу. Это означает, что результат сложения можно истолковать так, как будто есть косинусообразная волна с частотой, более или менее равной первоначальным, но что «размах» ее медленно меняется: он пульсирует с частотой, равной >1l>2(w>1-w>2)- Но та ли это частота, с которой мы слышим биения? Уравнение (48.6) говорит, что амплитуда ведет себя как cos>1/>2(w>1-w>2), и это надо понимать так, что высокочастотные колебания заключены между двумя косинусоидами с противоположными знаками (пунктирная линия на фиг. 48.1). Хотя амплитуда действительно меняется с частотой >1/>2(w>1-w>2), однако если речь идет об интенсивности волн, то мы должны представлять себе частоту в два раза большую. Иначе говоря, модуляция амплитуды в смысле ее интенсивности происходит с частотой w
