Лекции по физике 4a | страница 24

Пренебрегая этими небольшими усложнениями, мы можем заключить, что если складывать две волны с частотами w_>1 и w_>2, то получим волну с частотой, равной средней частоте ^>1/_>2(w_>1+w_>2), «сила» которой осциллирует с частотой w_>1-w_>2.

Если амплитуды двух волн различны, то можно, конечно, повторить все вычисления снова, умножив предварительно косинусы на различные амплитуды А_>1и А_>2и произведя массу всяких математических вычислений, перестроек и т. п. с исполь­зованием уравнений, подобных (48.2) — (48.5). Однако есть и другой, более легкий путь провести этот же анализ. Известно, например, что гораздо легче работать с экспонентами, чем с синусами и косинусами, поэтому можно представить A_>1созw_>1t как реальную часть экспоненты А _>1ехр (iw_>1t). Подобным же обра­зом вторая волна будет реальной частью A_>2ехр(iw_>2t). После сложения этих экспонент A_>1exp(iw_>1t)+A_>2exp(iw_>2t) и выделения в качестве множителя экспоненты со средней частотой мы получим

т. е. снова оказывается, что высокочастотная волна модули­руется малой частотой.

§ 2. Некоторые замечания о биениях и модуляции

Предположим теперь, что нас интересует интенсивность волны, описываемой уравнением (48.7). Чтобы найти ее, нужно взять квадрат абсолютной величины либо правой, либо левой части этого уравнения. Давайте возьмем левую часть. Интен­сивность при этом будет равна

I = A^>2_>1+A^>2_>2 + 2A_>1A_>2cos(w_>l -w_>2)t. (48.8)

Видите, интенсивность возрастает и падает с частотой w_>1-w_>2, изменяясь в пределах между (А_>1+A_>2)^>2и (А_>1-A_>2)^>2. Если А_>1№А_>2, то минимальная интенсивность не равна нулю.

Те же результаты можно получить и другим путем—с по­мощью схем, подобных фиг. 48.2.

Фиг. 48.2. Результат сложения двух комплексных векторов с рав­ными частотами.

Изобразим одну из волн в виде вектора длиной A_>1 в комплексной плоскости, вращающе­гося с угловой скоростью w_>1. Вторую волну изобразим другим вектором, длина которого A_>2, а угловая скорость вращения w_>2. Если эти частоты в точности равны между собой, то мы по­лучим вращающийся вектор, длина которого все время по­стоянна. Так что интенсивность в этом случае будет все время постоянной фиксированной величиной. Если, однако, частоты хоть немного отличаются одна от другой, то эти два вектора будут крутиться с различными скоростями.

На фиг. 48.3 показано, как выглядит вся картина «с точки зрения» вектора A_>1exp(iw_>1t).

Фиг. 48.3. Результат сложения двух комплексных векторов с раз­личными частотами во вращаю­щейся системе отсчета первого вектора.