Лекции по физике 8a | страница 67

Но, во-первых, мы знаем, что взаимодействие не зависит от нашего выбора осей для системы координат. Если нет внеш­него возмущения — чего-то вроде магнитного поля, выделяю­щего какое-то направление в пространстве,— то гамильтониан не может зависеть от нашего выбора направлений осей х, у и z. Это означает, что в гамильтониане не может быть таких членов, как s^>e_>x сам по себе. Это выглядело бы нелепо, потому что кто-нибудь в другой системе координат пришел бы к другим резуль­татам.

Единственно возможны только член с единичной матрицей, скажем постоянная а (умноженная на 1^), и некоторая комбина­ция сигм, которая не зависит от координат, некоторая «инва­риантная» комбинация. Единственная скалярная инвариантная комбинация из двух векторов — это их скалярное произведе­ние, имеющее для наших сигм вид

Этот оператор инвариантен по отношению к любому повороту системы координат. Итак, единственная возможность для га­мильтониана с подходящей симметрией в пространстве — это постоянная, умноженная на единичную матрицу, плюс постоян­ная, умноженная на это скалярное произведение, т. е.

Это и есть наш гамильтониан. Это единственное, чему, исходя из симметрии в пространстве, он может равняться, пока нет внешнего поля. Постоянный член нам многого не сообщит; он просто зависит от уровня, который мы выбрали для отсчета энергий. С равным успехом можно было принять Е_>0=0.А второй член поведает нам обо всем, что нужно для того, чтобы найти расщепление уровней в водороде.

Если угодно, можно размышлять о гамильтониане иначе. Если поблизости друг от друга находятся два магнита с магнит­ными моментами m_>е и m_>р, то их взаимная энергия зависит, кроме всего прочего, и от m_>е·m_>р. А мы, как вы помните, выяснили, что та вещь, которую мы в классической физике называли m_>е, в квантовой механике выступает под именем m_>es_>e. Подобным же образом, то, что в классической физике выглядит как m_>p, в кван­товой механике обычно оказывается равным m_>рs_>р (где m_>р— маг­нитный момент протона, который почти в 1000 раз меньше m_>е и имеет обратный знак). Значит, (10.5) утверждает, что энергия взаимодействия подобна взаимодействию двух магнитов, но не до конца, потому что взаимодействие двух магнитов зависит от расстояния между ними. Но (10.5) может считаться (и на самом деле является) своего рода средним взаимодействием. Электрон как-то движется внутри атома, и .наш гамильтониан дает лишь среднюю энергию взаимодействия. В общем все это говорит о том, что для предписанного расположения электрона и протона в пространстве существует энергия, пропорциональ­ная косинусу угла между двумя магнитными моментами (выра­жаясь классически). Такая классическая качественная картина может помочь вам понять, откуда все получается, но единственное что важно при этом то, что (10.5) — это правильная квантовомеханическая формула.