Лекции по физике 8a | страница 66
Таблица 10.1 · СВОЙСТВА СИГМА-ОПЕРАТОРОВ
на какое-то из наших четырех базисных состояний атома водорода, то она действует на один только спин электрона, причем гак, как если бы электрон был один, сам по себе. Пример: чему равно s>y>е|-+>? Поскольку s>y , действующее на электрон со спином вниз, дает -i, умноженное на состояние с электроном, у которого спин вверх, то
s>e>y|-+>=-i|++>.
(Когда s>y>е действует на комбинированное состояние, оно переворачивает электрон, не затрагивая протон, и умножает результат на -i.) Действуя на другие состояния, s>е>удаст
Напомним еще раз, что оператор s>е действует только на первый спиновый символ, т. е. на спин электрона.
Теперь определим соответствующий оператор «протон-сигма» для спина протона. Три его компоненты s>p>x, s>py, s>p>z, действуют так же, как и s>е, но только на протонный спин. Например, если s>p>xбудет действовать на каждое из четырех базисных состояний, то получится (опять с помощью табл. 10.1)
Как видите, ничего трудного. В общем случае могут встретиться вещи и посложнее. Например, произведение операторов s>e>ys>p>z. Когда имеется такое произведение, то сначала делается то, что хочет правый оператор, а потом — чего требует левый. Например,
Заметьте, что эти операторы с числами ничего не делают; мы использовали это, когда писали s>e>x(-1)=(-1) s>e>x . Мы говорим, что операторы «коммутируют» с числами или что числа «можно протащить» через оператор. Попрактикуйтесь и покажите, что произведение s>е>хs>p>z дает для четырех состояний следующий результат:
Если перебрать все допустимые операторы, каждый по разу, то всего может быть 16 возможностей. Да, шестнадцать, если включить еще «единичный оператор» 1. Во-первых, есть тройка s>е>х, s>е>y, s>е>z, затем тройка s>p>x, s>p>y, s>p>z, итого шесть. Кроме того, имеется девять произведений вида s>е>хs>p>y, итого 15. И еще единичный оператор, оставляющий все состояния нетронутыми. Вот и все шестнадцать!
Заметьте теперь, что для системы с четырьмя состояниями матрица Гамильтона должна представлять собой матрицу коэффициентов 4x4, в ней будет 16 чисел. Легко показать, что всякая матрица 4X4, и в частности матрица Гамильтона, может быть записана в виде линейной комбинации шестнадцати двойных спиновых матриц, соответствующих системе операторов, которые мы только что составили. Поэтому для взаимодействия между протоном и электроном, в которое входят только их спины, мы можем ожидать, что оператор Гамильтона может быть записан в виде линейной комбинации тех же 16 операторов. Вопрос только в том, как.
