Лекции по физике 8a | страница 60

Далее, состояния |n> (их N штук) могут, вообще говоря, тоже быть выбраны в качестве базиса. Для этого все состояния должны быть ортогональны в том смысле, что для любой нары их, скажем |n> и |m),

<n|m>=0. (9.68)

Это выполнится автоматически, если все энергии различны. Кроме того, можно умножить все а_>i(n) на подходящие множи­тели, чтобы все состояния были отнормированы: чтобы для всех n было

<n|n>=1. (9.69)

Когда оказывается, что (9.63) случайно имеет два (или боль­ше) одинаковых корня с одной и той же энергией, то появляются небольшие усложнения. По-прежнему имеются две различные совокупности а_>i, отвечающие двум одинаковым энергиям, но состояния, которые они дают, не обязательно ортогональны. Пусть вы проделали нормальную процедуру и нашли два стацио­нарных состояния с равными энергиями. Обозначим их |m>и |v>. Тогда они не обязательно окажутся ортогональными: если вам не повезло, то обнаружите, что

№0.

Но зато всегда верно, что можно изготовить два новых состоя­ния (обозначим их | m'> и |v'>) с теми же энергиями, но орто­гональных друг другу:

=0. (9.70)

Этого можно добиться, составив |m'> и |v'> из подходящих линейных комбинаций |m> и |v> с так подобранными коэффи­циентами, что (9.70) будет выполнено. Это всегда полезно де­лать, и мы будем вообще предполагать, что это уже проделано, так что можно будет считать наши собственноэнергетические состояния | n> все ортогональными.

Для интереса докажем, что когда два стационарных состоя­ния обладают разными энергиями, то они действительно ортого­нальны. Для состояния |n> с энергией Е_>n

Это операторное уравнение на самом деле означает, что имеется соотношение между числами. Если заполнить недостающие части, то оно означает то же самое, что и

Проделав здесь комплексное сопряжение, получим

Теперь вспомним, что комплексно сопряженная амплитуда — это амплитуда обратного процесса, так что (9.73) можно пе­реписать в виде

Поскольку это уравнение справедливо для всякого i, то его можно «сократить» до

Это уравнение называется сопряженным с (9.71).

Теперь легко доказать, что Е_>n— число вещественное. Умножим (9.71) на <n|. Получится

(с учетом, что <n|n>=1). Умножим теперь (9.75) справа на

|n>:

Сравнивая (9.76) с (9.77), видим, что

Е_>n=Е_>n*, (9.78)

а это означает, что E_>n вещественно. Звездочку при Е_>n>в (9.75) можно убрать.