Лекции по физике 8a | страница 59

Если, впрочем, вы хотите, чтобы все было по форме, пере­пишите (9.60) так:

Затем примените правило (если оно вам знакомо), что эти урав­нения будут иметь решения лишь для тех значений Е, для кото­рых

Каждый член в детерминанте — это просто H_>ijи только из диагональных отнято Е. Иначе говоря, (9.62) означает просто

Это, конечно, всего-навсего особый способ записывать алгебраи­ческие уравнения для Е, складывая вереницы членов, пере­множаемых в определенном порядке. Эти произведения дадут все степени Е вплоть до E^>N.

Значит, у нас есть многочлен N-йстепени, который равняется нулю. У него, вообще говоря, есть N корней. (Нужно помнить, однако, что некоторые из них могут быть кратными корнями; это значит, что два или более корней могут быть равны друг другу.) Обозначим эти N корней так:

(пусть n обозначает n-е порядковое числительное, так что nпринимает значения I,II, . . ., N). Некоторые из этих энергий могут быть между собой равны, скажем Е_>II=Е_>III, но мы решили все же обозначать их разными именами.

Уравнения (9.60) или (9.61) имеют по одному решению для каждого значения Е [из (9.64)]. Если вы подставите любое из Е, скажем E_>n, в (9.60) и найдете все а_>i, то получится ряд чисел а_>i, относящихся к энергии E_>n . Этот ряд мы обозначим а_>i (n).

Если подставить эти а_>i (n) в (9.59), то получатся амплитуды С_>i(n) того, что состояния с определенной энергией находятся в базисном состоянии |i>. Пусть |n> обозначает вектор состоя­ния для состояния с определенной энергией при t=0. Тогда можно написать

где

Полное состояние с определенной энергией |y_>n(t)> можно тогда записать так:

или

Векторы состояний |n> описывают конфигурацию состояний с определенной энергией, но с вынесенной зависимостью от вре­мени. Это постоянные векторы, которые, если мы захотим, можно использовать в качестве новой базисной совокупности.

Каждое из состояний |n> обладает тем свойством (в чем легко убедиться), что при действии на него оператором Гамиль­тона Н получится просто Е_>n , умноженное на то же состояние:

Значит, энергия Е_>n — это характеристическое число опера­тора Гамильтона Н^. Как мы видели, у гамильтониана в об­щем случае бывает несколько характеристических энергий. Фи­зики обычно называют их «собственными значениями» мат­рицы Н. Для каждого собственного значения Н^, иными словами, для каждой энергии, существует состояние с определенной энергией, которое мы называли «стационарным». Состояния |