Лекции по физике 8a | страница 58

^>0-мезону и т. д. Если все выкладки про­делать, то действительно возникает пара уравнений, похожих на те, что у нас получались, но, поскольку у двух p-мезонов имеется бесконечно много состояний, зависящих от их импуль­сов, интегрирование по всем возможностям приводит к a, рав­ному бесконечности. А природное a не бесконечно. Значит, динамические теории неверны. На самом деле чрезвычайно поразительно, что единственные явления, которые могут быть в мире странных частиц предсказаны, вытекают из принципов квантовой механики на том уровне, на котором вы их сейчас изучаете.

§ 6. Обобщение на системы с N состояниями

Мы покончили с системами с двумя состояниями, рассказав все, что хотелось. В дальнейших главах мы перейдем к изуче­нию систем с большим числом состояний. Расширение на систе­мы с N состояниями идей, разработанных для двух состояний, проходит довольно просто. Это делается примерно так.

Если система обладает N различными состояниями, то всякое состояние |y(t)>можно представить как линейную комбина­цию произвольной совокупности базисных состояний |t>, где i=l, 2, 3, . . ., N:

Коэффициенты C_>i(t)— это амплитуды <i|y(t)>. Поведение амплитуд С_>iво времени направляется уравнениями

где энергетическая матрица H_>ijописывает физику задачи. С виду она такая же, как и для двух состояний. Но только теперь и i, и j должны пробегать по всем N базисным состоя­ниям, и энергетическая матрица H_>ij(или, если вам больше нравится, гамильтониан) — это теперь матрица NXN, состоя­щая из N^>2чисел. Как и прежде, H_>ij=H_>ji (до тех пор, пока частицы сохраняются) и диагональные элементы H_>iiсуть ве­щественные числа.

Мы нашли общее решение для всех С в системе с двумя со­стояниями, когда энергетическая матрица постоянна (не зави­сит от t). Точно так же нетрудно решить и уравнение (9.58) для системы с N состояниями, когда Н не зависит от времени. Опять мы начинаем с того, что ищем возможное решение, в кото­ром у всех амплитуд зависимость от времени одинакова. Мы про­буем

Если все эти C_>iподставить в (9.58), то производные dC_>i(t)/dtпревращаются просто в (-i/h)EC_>i. Сокращая повсюду на общую экспоненту, получаем

Эта система N линейных алгебраических уравнений для N неизвестных a_>1а_>2, . . ., а_>n;решение у нее бывает только тогда, когда вам сильно повезет, когда определитель из коэффициентов при всех а равен нулю. Но не нужно чересчур умничать: можете просто начать их решать любым способом, и вы сразу увидите, что решить их удается лишь при некоторых значениях