Ответ преподавателя будет, конечно, отрицательным. Заменив произвольно выбранную точку на точку, выбранную случайно, мы не сможем провести ни одного сколько-нибудь содержательного доказательства. Ведь случайно выбранная точка может совершенно случайно всегда оказываться, например, началом координат…
Но в то же время некоторая произвольно выбранная точка – это не то же самое, что каждая точка. Мы просто физически не можем выбрать каждую точку на плоскости – человек, как утверждают психологи, не способен одновременно уследить больше чем за семью объектами!
Преподаватель математики вовсе не должен перегружать своих учеников философскими размышлениями о наличии или отсутствии свободы воли у человека. Но понимать, что «выбор некоторого произвольного элемента»[3] – это операция, без которой математика беспомощна, на наш взгляд необходимо.
Похоже, однако, что представление о свободе воли является для человека врожденным, а сомнение в ее наличии есть некое «отклонение от нормы». К такому выводу нас подталкивают следующие обстоятельства.
Процитируем вначале учебник по высшей геометрии [3, с. 205]: «…точки, прямые и плоскости как образы нашего геометрического воображения не поддаются математическому описанию».
– Как же так? – может воскликнуть читатель, искушенный в математике. – А как же аксиомы Гильберта или аксиомы Клейна? Наконец, аксиомы Евклида? Разве они не определяют, что такое точка, прямая и плоскость?
– Конечно, определяют, – ответим мы. – Но только в некоем абстрактном пространстве, а не в пространстве наших зрительных образов. То есть определяют, но не то, что нужно…
Иными словами, с помощью логики, опираясь на информацию, поступающую от органов чувств, придти к понятию «точка», по-видимому, невозможно. Но откуда же тогда взялось это понятие?
Процитирую в этой связи статью Александра Маркова («Элементы», 21.06.10):
<<Ключевую роль в пространственном мышлении у млекопитающих играют три группы нейронов: «клетки места», «клетки направления» и «клетки координатной сетки». Две команды исследователей независимо друг от друга обнаружили, что у маленьких крысят, впервые в жизни отправившихся на прогулку, уже есть нормально работающие клетки первых двух типов, и только клетки третьего типа появляются немного позже. По-видимому, это означает, что восприятие пространства у млекопитающих в значительной мере является врожденным.>>
Любопытно сравнить результаты этих опытов с методикой обучения младших школьников понятию «точка» (сообщено авторам Н. Лукановой):
