Откуда мы знаем, что такое точка? | страница 2

(1)

Здесь формулы над чертой – так называемые посылки, истинность которых мы должны предварительно установить, формула под чертой – вывод, истинность которого обеспечивается истинностью посылок; N обозначает множество натуральных чисел.

Парадокс, однако, заключается в том, что, «применяя математическую индукцию», мы пользуемся не методом (1), а другими соображениями.

Действительно, посмотрим, как фактически проводится доказательство «по индукции». Вначале доказывается справедливость A(1), и пока мы, как будто, действуем в согласии со схемой (1). Однако наш следующий шаг представляет собой мыслительную операцию, в корне отличную от второй строчки в схеме (1). Фактически, мы рассуждаем так:

«Предположим, что A(n) истинно при некотором произвольномn. Докажем, что тогда A(n+1) тоже истинно».

Без слова «некоторый» здесь обойтись невозможно, так как в противном случае наше предположение звучало бы так:

«Предположим, что A(n) истинно при произвольном n», т.е. мы предположили бы то, что требуется доказать! (Без слова «произвольный», очевидно, тоже невозможно обойтись.) В итоге вместо (1) мы пользуемся на самом деле схемой

(2)

Заметим, что понятие «некоторый произвольный» не удается выразить с помощью математических кванторов

(для любого) и (существует). В сущности, это говорит о несовершенстве (бедности) «общепринятого» математического языка и о том, что так называемая «содержательная» логика, в рамках которой работает большинство математиков, не совпадает с формальной логикой, в которой операция взятия «некоторого произвольного» элемента не предусмотрена.

В этом параграфе мы обсудим один из интереснейших вопросов, лежащих на стыке математики и психологии. В первом параграфе мы уже сталкивались с операцией выбора некоторого произвольного элемента. В статье [2], где эта операция была подробно рассмотрена, отмечалось, в частности, что упомянутая операция неявно апеллирует к существованию у человека свободы воли. Тем самым, как было отмечено в [2], такое понятие как независимая переменная также базируется на предположении о существовании у человека свободы воли[2].

Для преподавателя математики этот вопрос вовсе не является второстепенным – например, на уроках геометрии невозможно обойтись без «выбора произвольной точки».

Любознательный ученик может тогда спросить:

– А что такое произвольная точка? Это то же самое, что случайно выбранная точка?