).
9. ЗАДАЧА О СОСТАВЛЕНИИ БУКЕТА
Среди комбинаторных задач имеется серия таких, к которым правило произведения на первый взгляд неприменимо, и оттого эти задачи кажутся начинающему сложными. Однако при помощи простого рассуждения задачи этой серии могут быть переформулированы и затем решены именно с помощью вышеупомянутого правила произведения.
В качестве примера разберем одну из таких задач; прием, которым мы воспользуемся, заслуживает, на наш взгляд, специального рассмотрения на занятиях, посвященных комбинаторике.
Задача 1. Имеется 5 одуванчиков и 19 репейников. Сколькими способами можно составить из них букет, состоящий из трёх одуванчиков и семи репейников?
Решение. Букет, очевидно, представляет собой неупорядоченное множество, элементы которого выбираются из двух других непересекающихся неупорядоченных множеств – множества одуванчиков:
ОД = {ОД1, ОД2,..., ОД5} (1)
и множества репейников:
P = {Р1, Р2,..., Р19}. (2)
Существенно, однако, то, что каждому букету Б можно взаимно-однозначным образом сопоставить упорядоченную пару
Б ↔ ({три одуванчика); {семь репейников}). (3)
Это оказывается возможным только потому, что множества (1) и (2) не пересекаются!
Здесь, как это обычно принято, мы обозначаем неупорядоченные множества, перечисляя их элементы в фигурных скобках, а элементы упорядоченных множеств перечисляем в круглых скобках. Таким образом, элементами упорядоченной пары
({три одуванчика); {семь репейников}) (4)
являются два неупорядоченных множества.
Теперь в силу взаимной однозначности соответствия (3) заключаем, что численность множества Б (т.е. искомое число различных букетов заданного состава) равна численности множества упорядоченных пар вида (4).Тем самым, применяя правило произведения для нахождения этой численности, получаем
Ответ: искомое число способов равно ∙; здесь – число сочетаний из n элементов по k элементов.
Соображения вида (3) обычно считаются само собой разумеющимися и, как правило, опускаются в разделах, посвященных комбинаторике. Однако, на наш взгляд, проведенное рассуждение заслуживает большего внимания и, быть может, даже специального названия – например, «обобщенного правила произведения».
Разобранную выше задачу можно слегка видоизменить, причем изложенный выше прием снова продемонстрирует свою полезность.
Задача 2. Имеется 5 одуванчиков и 19 репейников. Сколькими способами можно составить из них букет, состоящий из десяти цветков и содержащий не менее трех одуванчиков?
