! («эн-факториал»). С педагогической точки зрения здесь имеется одно довольно узкое место.
Мы полагаем по определению, что
n! = n(n–1)(n–2)·…·2 ·1 при n ≥ 1, (1)
а при n = 1 считаем опять же по определению, что
0! = 1. (2)
Соотношение (1) обычно не вызывает никаких затруднений – здесь все ясно: мы имеем дело с произведением всех натуральных чисел от n до 1. Но откуда берется соотношение (2)? Если не дать разумного, адекватного объяснения, четко указав то место, где действительно используется соглашение (2), то весь материал, связанный с биномиальными коэффициентами, будет воспринят отчасти на веру.
И тут у преподавателя, знакомого, естественно, с Гамма-функцией Эйлера, появляется искушение объяснить происхождение формулы (2) следующим образом.
При n > 1, очевидно, имеем
n! = (n–1)! · n. (3)
Мы хотим сохранить это же самое соотношение при n = 1. Подставляя в (3) n = 1, получаем
1! = 0!·1, (4)
откуда и следует (2).
Однако соотношение (4) нигде в курсе комбинаторики не
используется, и в результате остается непонятным, нельзя ли было положить 0! равным какому-нибудь другому числу, отличному от 1.
Выход из положения здесь, на наш взгляд, такой. Соображения (3), (4) можно (но не обязательно) рассказывать студентам в качестве дополнительного материала, но не стоит давать их непосредственно после формулы (2) для ее «оправдания».
Вместо этого, чтобы оправдать соглашение (2), на наш взгляд, следует сказать, что для того чтобы формулы, которые вскоре появятся, имели единообразный вид при всех n ≥ 0 (а не только при n ≥ 1) нужно, чтобы выражение
(5)
равнялось 1. (Действительно, как известно, каждое выражение вида при 0 < k < n представляет собой число сочетаний из n элементов по k элементов, т.е. число способов выбрать какие-нибудь k элементов из n данных элементов. При k = 0, очевидно, существует только один такой способ – не брать ни одного элемента.)
Поэтому неизбежно принятие соглашения (2). В результате, мы избегаем неприятного порочного круга в задаче: «Сколькими способами можно выбрать 0 элементов из n элементов?»
(Имеется в виду следующий порочный круг: «Число этих способов равно числу сочетаний из n элементов по 0 элементов, т.е. равно выражению (5). Подставляя в (5) определение (2) для 0!, получаем в ответе 1»
