Секреты числа пи [Почему неразрешима задача о квадратуре круга] (Мир математики. т.7.) | страница 8

Одно из многочисленных изобретений, приписываемых Архимеду, — система бронзовых зеркал. С помощью этих зеркал защитники Сиракуз поджигали римские корабли, фокусируя на них солнечные лучи.

* * *

Метод, использованный Архимедом, стал фактически обязательным к применению в последующие несколько веков. Он доступен, прост и понятен. Математический гений Архимеда создал настоящее чудо. По существу, Архимед придумал алгоритм расчета π с любой точностью. Чтобы использовать этот алгоритм, нужен только калькулятор или компьютер и одна рекуррентная формула. Если n — число сторон вписанного или описанного многоугольника, а а_>n и Ь_>n — периметры таких многоугольников, то

a_>2n = 2a_>nb_>n/(a_>n + b_>n),

b_>2n = √(a_>2nb_>n).

В этом и заключается суть алгоритма Архимеда — рекуррентной формулы, с помощью которой рассчитывается приближенное значение π, точность которого повышается по мере роста п. Всегда выполняется соотношение а_>n > π > Ь_>n.

Используя алгоритм Архимеда начиная с правильного шестиугольника, в котором а_>0 =4√3 и b_>0 = 6, получим:

3,00000 < π < 3,46410

3,10583 < π < 3,21539

3,13263 < π < 3,15966

3,13935 < π < 3,14609

3,14103 < π < 3,14271.

Рассчитав значения этого неравенства для правильного 96-угольника, мы получим оценку числа π, вычисленную самим Архимедом.

Примерно в 20 году до н. э. известный римский архитектор, военный инженер и писатель Марк Витрувий Поллион (ок. 85 — ок. 20 гг. до н. э.), более известный как Витрувий, создал монументальный труд «Десять книг об архитектуре», где используется соотношение, найденное в Месопотамии: π = 25/8. Сам Витрувий произвел оценку числа π с помощью колеса с нанесенными отметками. Тем не менее он известен потомкам не поэтому, а благодаря рисунку Леонардо да Винчи «Витрувианский человек» с каноническими пропорциями человека.

«Витрувианский человек» с каноническими пропорциями тела человека, определенными древнеримским архитектором Витрувием. Знаменитый рисунок Леонардо да Винчи (1452–1519).

Несмотря на столь широкую известность, Витрувий не добился более точного результата, чем Архимед. Это удалось египетскому астроному, астрологу и географу греческого происхождения Клавдию Птолемею (ок. 100 — ок. 170 гг.). Для расчетов он использовал 120-угольник, получив поразительно точный результат π = 3 + (17/120) = 3,141666… К сожалению, это не принесло ему заслуженной славы среди потомков. Он известен благодаря одному из своих трудов, «Альмагесту» в 13 книгах, название которого с древнегреческого переводится как «Великое построение». С этой книги началась традиция создания трудов, описывающих все известные на данный момент знания. Фактически «Альмагест» Птолемея не терял актуальности вплоть до появления работ Коперника.