быть рациональным?
Конечно, с использованием седьмой проблемы Гильберта эту задачу решить нетрудно. В самом деле, число √2>√2 —трансцендентное (поскольку √2 — алгебраическое иррациональное число). Но все рациональные числа являются алгебраическими, поэтому √2>√2 — иррациональное. С другой стороны,
(√2>√2)>√2= √2>√2 · √2 = √2>2 = 2.
Итак, мы просто предъявили такие числа: а = √2>√2, b = √2. Однако эта задача может быть решена и без каких- либо ссылок на результат Гельфонда. Среди читателей нашёлся школьник, который не знал, что такое седьмая проблема Гильберта, но прислал поразительно красивое решение.
Он рассуждал так: «Рассмотрим число √2>√2. Если это число рациональное, то задача решена, такие а и b найдены. Если же оно иррациональное, то возьмём а = √2>√2 , b = √2, и a>b = (√2>√2)>√2 = 2».
Итак, этот школьник предъявил две пары чисел а и b, таких что одна из этих пар удовлетворяет поставленному условию, но ему неизвестно, какая именно. Но ведь предъявить такую пару и не требовалось! Таким образом, это элегантное решение в некотором смысле представляет собой теорему существования.
- 21 -
Десятая проблема Гильберта:
диофантовы уравнения
Эта проблема также связана с теорией чисел. Ещё древнегреческий математик Диофант пытался ответить на следующий вопрос:
Дано уравнение с целыми коффициентами. Имеет ли оно целые решения!
Приведём в качестве примера уравнение х>2 + у>2 = z>2, обладающее замечательным свойством: если тройка натуральных чисел (x>0, y>0, z>0) ему удовлетворяет (как, например, тройка (3,4,5)), то по теореме, обратной к теореме Пифагора, из отрезков длины x>0, y>0 и z>0 можно сложить прямоугольный треугольник и, таким образом, построить прямой угол.
Снова геометрическая задача решается методами теории чисел! Нетрудно описать все натуральные решения этого уравнения. Они имеют следующий вид:
x = (m>2 –n>2)l, у = 2mnl, z = (m>2 + n>2)l,
плюс решения, получающиеся перестановкой х и у (m, n и l — произвольные натуральные числа, n < m ).
Естественным обобщением предыдущего уравнения является известное уравнение x>n + y>n = z>n, n ∈ N. Великая теорема Ферма утверждает, что это уравнение при n > 2 не имеет решений в целых числах.
Эта задача, которая, казалось бы, не очень сильно отличается от предыдущей, оказалась чудовищно трудной. На протяжении нескольких веков её пытались решить математики самого высокого класса. Для её решения пришлось построить исключительно сложный математический аппарат. И только несколько лет назад английский математик Эндрю Уайлс окончательно решил эту проблему и доказал Великую теорему Ферма.
