Так как множество действительных чисел несчётно, то мы доказали существование неалгебраических чисел.
Однако теорема существования не указывает как определить, является ли данное число алгебраическим. А этот вопрос иногда является весьма важным для математики.
В 1882 году немецкий математик Линдеман* доказал, что число π трансцендентно. Из этого сразу следует невозможность решения одной из знаменитых задач древности.
Этих задач было три: об удвоении куба, о трисекции угла и о квадратуре круга. Их пытались решить ещё математики Древней Греции.
Задача о квадратуре круга. На плоскости имеется круг. При помощи циркуля и линейки построить квадрат, площадь которого равна площади этого круга.
Пусть круг имеет радиус 1, т. е. задан отрезок длины 1. Площадь этого круга равна π, поэтому построение искомого квадрата сводится к построению отрезка длины √π.
--------------------
* Карл Луис Фердинанд Линдеман (1852-1939).
- 19 -
Далее воспользуемся известным геометрическим фактом: если задан отрезок длины 1, то с помощью циркуля и линейки можно построить только такие отрезки, длины которых суть числа очень специального вида. А именно, эти числа могут быть получены из рациональных чисел с помощью операций извлечения квадратного корня, а также сложения и умножения.
Но все такие числа (это нетрудно доказать) являются алгебраическими, т. е. для каждого из них можно построить многочлен с целыми коэффициентами, корнем которого оно является.
Поскольку число π трансцендентно, то и √π трансцендентно. Поэтому построить отрезок длины √π при помощи циркуля и линейки невозможно.
Вы видите, как решение задачи теории чисел — о трансцендентности числа — влечёт решение геометрической задачи. Это ещё один яркий пример тесной связи между различными областями математики.
Седьмая проблема Гильберта формулируется следующим образом:
Пусть a — положительное алгебраическое число, не равное 1, b — иррациональное алгебраическое число.
Доказать, что a>b есть число трансцендентное.
В 1934 году советский математик Гельфонд* и чуть позже немецкий математик Шнайдер** доказали справедливость этого утверждения, и таким образом, эта проблема была решена.
-------------------
* Александр Осипович Гельфонд (1906-1968).
** Теодор Шнайдер (р. 1911).
- 20 -
Одна теорема существования
Когда-то, на заре своего существования, журнал «Квант» предложил своим читателям следующую задачу:
Пусть a и b — иррациональные числа. Может ли число a
