В нашем случае с доской мы, в принципе, можем попробовать перебрать все варианты и сделать вывод — не получилось. Но сколько времени нам нужно будет потратить? Давайте примерно оценим. Сколькими способами можно положить первую доминошку?
Слушатель: Тремя.
А.С. (показывая на доске 8x8 различные положения кости домино): Раз, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять...
Слушатель: Двумя.
Слушатель: Тридцатью.
А.С.: Ну, тридцатью — хорошо. А почему двумя?
Слушатель: Вертикально и горизонтально.
А.С.: Это два способа ее расположения. А сколько положений на самой доске она может занять?
Слушатель: Кучу.
А.С.: Очень-очень много. 30 — это довольно хороший ответ. На самом деле около 50. Давайте исходить из 50. На самом деле не важно, что 30, что 50, даже 10. Потому что после того как мы положили первую такую фишечку, сколько способов остается для второй?
Слушатель: (п- 1).
А.С.: Грубо говоря, 49. Еще, на самом деле, надо учесть порядок, в котором мы положили доминошки. Нужно поделить на два. То есть 50 умножим на 49 и поделим на два.
Дальше кладем третью, четвертую и так далее. И каждый раз домножаем и домножаем — количество вариантов очень быстро растет. (Показывает на доске всё новые варианты.)
Есть миф, будто математика состоит из формул. В 1993 году, когда я учился на 3-м курсе мехмата, я ехал на Урал к тете. Со мной в купе ехала мама с маленькой 4-летней дочкой. И дочка говорит: «Мам,а, а можно почит,ат,ъ дядину книгу?» Книга м,оя называлась «Алгебра». Мама сказала: «Ты в ней ничего не поймешь, там одни формулы». Я передаю книгу и говорю: «Найдите первую формулу. На какой она странице?» Формул в книге по алгебре не очень много, и самое страшное не в их количестве, а в том, что они ужасающие, в них одни буквы, даже цифр почти нет. Это, скорее, похоже на какой-т,о древний язык. Совершенно не то в книге, что должно быть с точки зрения людей. Идея, что математика состоит из формул, столь же чудовищна, как мысль, что в храм люди заходят, чтобы просто совершить обряд, поставить свечку. Моя дочь говорит, например: «Пойдем,, поставим огоньки». Для нее это нормально, она маленькая. Математика — это вселенная, в которой есть язык формул. Но суть не в нём, а в том, какие глубинные законы есть в математике. И вот эти законы, эту внутреннюю красоту я постараюсь вскрыть.
После такого философского отступления вернемся к нашей доске.
Произведение, которое получится уже через 20 умножений, имеет порядок количества атомов во вселенной (как любят говорить в научно-популярных книгах). Вот с чем сравнимо количество способов, которые нужно перебрать, чтобы заявить: «Мы перебрали все варианты, задачу решить нельзя». Надо придумать что-то другое. И то, что мы сейчас придумаем это
