Математика для гуманитариев: живые лекции | страница 16



А теперь рассмотрим поближе футбольный мяч. Он состоит из шестиугольников и пятиугольников: двадцати шестиугольников и двенадцати пятиугольников.

Зачем? Почему так сложно? Вот вы, допустим, шьете футболь­ные мячи, чем вам не угодили просто шестиугольники? Взяли, сшили их по краям. Плоскость, например, отлично замощается ше­стиугольниками .

Слушатель: Но они, может быть, в мяч не сложатся.

А.С.: Давайте попробуем сложить огромный мяч. Возьмите 200. 300 шестиугольников. Плоек ость-то элементарно замощается? Вот так. как я нарисовал. Пчелиные соты (рис. 23).

Слушатель: Они на стыках но будут совпадать.

А.С.: Ну тут-то. на плоскости, вроде всё совпадает. А потом взял, свернул очень большой кусок плоскости и получил мяч.

Слушатель: Не остается места для того, чтобы правильно со­гнуть.

А.С.: Я даже не знаю, как выразить простым языком Ваше пра­вильное интуитивное замечание. Но математическая теория этого вопроса неумолима. Из шестиугольников нельзя собрать поверх­ность шара. Вообще, никак, никаким способом даже если их нарисовать на поверхности шара в слегка искривленном виде6

'edels/liexaspliere/. Обратите внимание па дату публикации :-))))·.

Слушатель: А из пятиугольников?

А.С.: Сейчас мы проясним ситуацию, связанную с пятиуголь­никами. Во-первых, давайте договоримся о том. что сшивать надо так. чтобы в каждой вершине сходилось три образующих поверх­ность мяча многоугольника. Будем называть такую сшивку регу­лярной. Сразу скажу, что никакой, регулярной ли. не регулярной.

никакой сшивкой из шестиугольников нельзя сшить футбольный мяч. Но давайте сейчас рассмотрим подробно регулярные сшивки. Возьмем всевозможные футбольные мячи, любого размера, кото­рые составлены из пятиугольников и шестиугольников.

Неожиданная теорема:

Если поверхность шара «сшита» регулярным образом из некото­рого количества х шестиугольников и некоторого количества у пя­тиугольников, то у обязательно равно 12.

Слушатель: В любом случае?

А.С.: В любом. Как ни экспериментируй, что ни делай, чему бы х ни равнялось, х = 200, х = 300, ... Но у = 12. Ровно 12, не 12 ООО, не 120. От размера мяча не зависит, от размера лоскутков не за­висит, от того, как сшивать, не зависит. Это — математическая теорема.

Слушатель: Невероятно...

А.С.: Есть абсолютное доказательство этой теоремы. Если вы хотите сшить футбольный мяч из пятиугольников и шестиуголь­ников, пятиугольников обязательно будет ровно 12.

Слушатель: Какой диаметр?