Диаграммы Пенроуза – что это такое? | страница 9
После построения полной координатной сетки из дуг, диаграмму следует повернуть на 45 градусов, вследствие чего дуги становятся координатными линиями r = const и t = const, а ставшие наклонными прямые линии становятся нулевыми геодезическими. Изображённая на рисунке рис.4b дуга в этом случае становится координатной линией.
Диаграмма в форме ромба (квадрата)
То, что диаграмма Пенроуза в форме ромба (квадрата) имеет сходство с декартовой системой координат наглядно показано на рис.5. На рисунке изображена обычная система координат Декарта, но оси подвергнуты преобразованию, во многом напоминающем логарифмическую сетку. Главное отличие состоит в том, что логарифмическая шкала имеет бесконечную протяжённость. Здесь же используется преобразование φ = arctg(x), θ = arctg(y). Соответственно, по координатам x и y откладываются не эти величины, а их арктангенсы. При изменении параметров x и y в пределах от минус до плюс бесконечности, каждый из параметров φ и θ изменяется в конечном диапазоне от –π/2 до +π/2.
На такой двухкоординатной диаграмме Декарта можно изобразить в виде плоскости всю бесконечную Вселенную. На рисунке рис.5a явно не видно, что диаграмма (система координат) является изотропной, поскольку на ней традиционные лучи света изображены кривыми линиями, дугами. Координаты лучей света описываются уравнениями y = ±x+C, то есть, единичному приращению координаты x соответствует такое же единичное приращение координаты y. На координатной сетке эти световые линии являются диагоналями единичных координатных квадратов.
Пометим на рис.5a точками abcde несколько смежных диагоналей квадратов координатной сетки. Под квадратом понимается прямоугольник со сторонами x = y = 1, хотя действительно квадратами выглядят только диагональные.
Рис.5. Конформная декартова диаграмма Пенроуза до и после поворота
Тем не менее, аналитически в системе координат x-y рисунка рис.5a любая из таких дуг описывается уравнением y = ±x + C, то есть, является линией с наклоном в 45>о к осям этих координат. Это можно отчетливо увидеть по значениям координат точек abcde. Метрически вдоль осей φ и θ откладываются значения углов, но обозначаются эти точки соответствующими величинами арктангенсов.
Такие же последовательности координат (x, y) можно составить и для всех других возможных точек, в нашем случае с целочисленными координатами, для любой подобной же кривой-дуги на диаграмме. Обратив внимание на явную закономерность, запишем уравнения этих линий в более компактном общем виде:
