Диаграммы Пенроуза – что это такое? | страница 10

Смысл этого уравнения кажется достаточно очевидным: это обобщённое уравнение всех возможных кривых линий на рис.5a в системе конформных сжатых осей x и y. Значения φ и θ откладываются вдоль тех же осей x и y (оси коллинеарны), но по их собственной шкале от ‑π/2 до +π/2, в чем, собственно, и состоит конформное сжатие, то есть, диаграмма Пенроуза – это квадрат со сторонами, равными π.

Из уравнения (2) следует, что каждая дуговая линия имеет некий номер C и соответствующее ему уравнение при любых значениях x и y на всей числовой оси. Иначе говоря, константа C является обобщённым обозначение номеров кривых линий. Теперь вспомним, что все эти кривые линии мы построили, соединяя диагонали смежных четырёхугольников. Можно назвать эти линии удлинёнными диагоналями. Но на этом же рисунке видно, что и прямые линии исходной, тангенциальной сетки являются в свою очередь точно такими же удлинёнными диагоналями, если координатной сеткой считать кривые линии, дуги. То есть, наборы прямых и кривых линий являются по отношению друг к другу координатными сетками. Иначе говоря, имея указанную сетку из кривых линий, мы таким же образом можем построить и прямые линии, просто соединяя диагонали смежных криволинейных четырёхугольников.

Если теперь уже дуги рассматривать как координатную сетку, то обнаружится, что номера дуг остались теми же самыми. То есть, дуга, проходящая через координату xy(3,0) и имеющая, соответственно, номер C = 3, точно также проходит через такую же координату rt(3,0) и имеет точно такой же номер C = 3. Вот здесь мы и обнаруживаем конформную взаимосвязь между координатами x-y и координатами r-t, описываемую уравнениями арктангенсов.

В декартовой системе координат на рисунке рис.5 массивы прямых ортогональных линий и криволинейных условно ортогональных линий образуют каждая своеобразную координатную сетку. То есть, на рис.5a в качестве координатной сетки мы использовали прямые линии и построили в этих координатах массивы криволинейных линий. Но и, наоборот, эти кривые линии мы можем рассматривать также как линии координат, сетку. На рисунке рис.5a оси координат r-t и их дуга abcde имеют наклон в 45 градусов.

Хорошо видно, что эта диаграмма Декарта на рис.5a оказалась похожей на квадрат диаграммы Пенроуза рис.2, только без поворота (и с единственной дугой). Если теперь эту диаграмму Декарта повернуть на 45 градусов и добавить остальные дуги, мы получим классическую диаграмму Пенроуза. При этом окажется, что бывшие прямые координатные линии превратились в изотропные нулевые геодезические, линии света, а декартовы линии света – в координатные линии диаграммы Пенроуза рис.5b. Линейные размеры, координаты новой оси r изменяются в некоторых ограниченных пределах (точнее, от –π/√2 до +π/√2), в то же время как каждой из них присваивается значение C: