Диаграммы Пенроуза – что это такое? | страница 8

Используя все те же средства, что и на традиционных диаграммах Минковского, мы можем изобразить те же самые мировые линии. Для этого нам нужно определить правила конформного преобразования, правила, по которым обычные, декартовы координаты преобразуются в координаты диаграммы Пенроуза. Очевидно, что прямые линии при этом искривляются, кроме светоподобных геодезических, линий распространения света.

Для такого конформного преобразования координат используется преобразование осей координат с помощью уравнений:

где u, v – новые значения координат на диаграмме Пенроуза.

Таким образом, диаграмма Пенроуза – это, в сущности, обычная координатная система одномерного пространства. Не следует понимать буквально утверждения, что она отражает пространство 2‑сфер (двухмерных сфер), это отражение всего лишь искусственная экстраполяция. Оно ничего не может нам сказать о движении объекта в пространстве параллельно оси r или перпендикулярно к ней.

Можно задаться вопросом, а почему использованы именно эти сильно нелинейные тригонометрические функции? Дело в том, что из множества элементарных функций только тангенс изменяется в диапазоне от минус бесконечности до плюс бесконечности при изменении аргумента в фиксированном диапазоне (от -90 до +90 градусов). То есть, функционально демонстрирует связь между конечным и бесконечным диапазонами. Поэтому изменение бесконечных расстояния и времени, как аргументов, преобразуется в изменение новых аргументов в ограниченном диапазоне.

Заметим, что поместить бесконечное пространство-время на диаграмме конечных размеров, подобно диаграмме Пенроуза, можно также с помощью других функций, изменяющихся в конечных пределах при изменении аргумента на бесконечном диапазоне. Такими свойствами помимо арктангенса обладает, например, степенной ряд 2^>‑>n (2 в степени минус n) и другие. Создать диаграмму, подобную квадратной диаграмме Пенроуза, можно, например, с помощью следующих показательных функций:

На рис.4a изображена диаграмма, построенная с использованием этих уравнений. Сразу же видим, что диаграмма визуально ничем не отличается от диаграммы с тангенциальным преобразованием рис.5. Для удобства коэффициент m выбран таким, что координатная сетка имеет более равномерное распределение, чем тангенциальная.

Рис.4. Диаграмма на основе показательной функции

Красная линия нанесена на диаграмму таким же способом, как и ранее: соединением диагоналей смежных координатных квадратов, то есть, эта линия для координат u-v является прямой линией. В данном случае координаты её последовательных точек описываются уравнением прямой (дуги) вида u + v = 11.