Эрнст Цермело (1871-1953) был первым математиком, который различил нелогистический выход из лабиринта (не зря он открыл парадокс, подобный парадоксу Рассела): следовало перейти от интуитивной к аксиоматической теории множеств. С 1897 года Цермело находился в Геттингене и выполнял инструкции Гильберта, который воодушевил его сформулировать систему аксиом для теории Кантора. Его вклад в аксиоматический метод теории множеств сравним с вкладом Гильберта в геометрию. В 1908 году Цермело представил первую аксиоматизацию теории множеств, отшлифованную Абрахамом Френкелем (1891-1965) в 1922 году (и фон Нейманом в 1925 году, когда тот включил в нее аксиому регулярности, или основания).
КЛАССЫ И МНОЖЕСТВА
Теория множеств Цермело — Френкеля также исходит из логики первого порядка и принимает отношение принадлежности ϵ в качестве первоначального. Аксиомы ZF, озвученные вербально, следующие.
1. Два множества равны тогда и только тогда, когда они имеют идентичные элементы (аксиома объемности).
2. Существует множество без единого элемента Ǿ.
3. При заданном множестве х и свойстве, которое можно сформулировать на языке первого порядка теории множеств, существует множество всех элементов X, которые удовлетворяют свойству (аксиома выделения).
4. Если x и у — множества, то неупорядоченная пара {х, у} — множество.
5. Объединение множеств во множество — множество.
6. Можно образовать потенциальное множество любого множества, то есть собрание всех подмножеств или частей любого множества — другое множество.
7. Существует как минимум одно бесконечное множество (аксиома бесконечности).
8. Образ множества, заданный функцией, является множеством (аксиома преобразования).
9. x не принадлежит x (аксиома основания, или регулярности).
Если к этим аксиомам добавить так называемую аксиому выбора, получится система ZFC (С — от английского choice — «выбор»). В 1930-е годы теория множеств ZFC была расширена теорией классов и множеств фон Неймана — Бернайса — Гёделя (известной среди математиков по аббревиатуре NBG). Фон Нейман предложил иерархическую и накопительную конструкцию вселенной множеств, которую обычно схематично представляют в виде перевернутого конуса (см. рисунок). На основе пустого множества, путем повторения (с помощью трансфинитной рекурсии) операций «части множества- и «объединение множества- он построил все этажи, на которых упорядоченно располагаются множества — от самых маленьких до самых больших: 0 = Ǿ, 1 = {0} = {Ǿ}, 2 = {0, 1} = {Ǿ, {Ǿ}} и так далее. В этой теории парадоксы Рассела и Кантора доказывают, что R и V — не множества, а классы, которые принимаются в рамках этой теории. Кофинальные элементы, обладающие иерархией, не являются членами никакого другого множества, потому что они слишком большие и соответствуют классам.
