Героическая эпоха теории множеств начинается в 1872 году. Тогда, опубликовав свои построения действительных чисел, Дедекинд и Кантор приступили к бурному личному взаимодействию. В 1874 году Кантор доказал, что существует два типа бесконечности: счетная (как множество натуральных чисел) и несчетная (как действительные числа, то есть как континуум). Он заявил, что множество алгебраических чисел счетное, и доказал это на основе метода, который Дедекинд передал ему в письме, хотя и не признал здесь заслуги последнего (этот конфликт, скорее всего, и стал причиной их разрыва). В 1879 году Кантор представил понятие кардинального числа множества, которое обобщает понятие числа элементов множества в области бесконечных множеств. Проверка того, обладают ли два конечных множества одним и тем же числом элементов, состоит в одновременном удалении по одному элементу из каждого из них столько раз, сколько возможно. Если оба множества заканчиваются одновременно, мы точно знаем, что у них одно и то же число элементов, или кардинальное число. Так как эта идея не предполагает счета, она распространяется на бесконечные множества: о множествах A и В говорят, что они имеют одно и то же кардинальное число, и это записывается как |A| = |B| если между ними можно установить биекцию, то есть соответствие один к одному.
ДИАГОНАЛЬНЫЙ АРГУМЕНТ КАНТОРА
Одним из великих открытий Георга Кантора стали несчетные множества, для которых невозможно провести биекцию с натуральными числами.
Одно из них — это континуум. И если целые и рациональные числа счетные, то действительные числа такими не являются. Нельзя связать их попарно с натуральными числами, их нельзя пронумеровать, поставить в список одно за другим. Возьмем числовую прямую и рассмотрим отрезок от 0 до 1. Выразим все входящие в этот отрезок числа в двоичном коде, то есть с помощью последовательностей 0 и 1. Например: 101001000... (опустив 0 и запятую, отделяющую десятичную дробь, которые должны предшествовать выражению). Докажем, что предположение о том, что это счетное множество, приводит к противоречию. Действительно, если бы это было так, мы могли бы записать все его элементы в списке, подобном следующему:
1.° → 0100...
2.° → 0110...
3.° → 1101...
... ...
Теперь обратим внимание на элементы главной диагонали, они подчеркнуты. Построим элемент, который несмотря на то, что является последовательностью 0 и 1, не входит в список. Для этого образуем последовательность, состоящую из следующих чисел: так как первый выделенный член был 0, запишем 1; так как второй был 1, запишем 0; так как третий был 0, запишем 1; и так далее. Итоговый элемент начинается с 101... и не совпадает ни с одним из элементов в списке. Это не может быть первая последовательность, поскольку первый член отличается, не вторая, потому что мы изменили второй член, и не третья, и так далее. Это противоречит предположению, что речь идет о счетном множестве, которое, следовательно, может быть выражено в виде списка. Использованный метод доказательства получил название диагонализации и повлиял на последующие значимые доказательства в истории оснований математики.
