Аксиома бесконечности была нужна для определения натуральных чисел в комплексе. Следуя за Фреге, они определили 2 как класс всех пар, 3 — как класс всех троек... Но они были вынуждены ввести аксиому (в ней утверждалось, что для любого числа существует другое, больше него), обоснование которой не могло строиться ни на одном из классов логической или математической догадки (что было бы нарушением принципа «логика или математика, основывающаяся на самой себе»), а лишь на характерной структуре мира, которому приписывалось то, что он должен включать в себя бесконечное число объектов. Если бы в мире существовало не бесконечное число вещей, а только максимальное число вещей n, Рассел и Уайтхед не смогли бы определить число n + 1, поскольку класс всех скоплений (n + 1) был бы пустым, так как не было бы n + 1 объектов в мире. Герман Вейль, ученик Гильберта, решительно отверг это: «Принципы...» испытывали веру, как Отцы Церкви.
Баланс заключался в том, что в лучшем случае Расселу и Уайтхеду удалось свести математику к виду мегалогики, раю для логиков. Логистический тезис является либо ложным (если логика не включает в себя теорию классов — то, что называется теорией множеств), либо тривиальным (если включает ее). На сегодняшний день некоторые логики пытаются возродить этот тезис, чтобы перевести математику в подходящую логику второго порядка (поскольку логики первого порядка оказалось недостаточно). Но, как говорили многие математики, логика второго порядка — это всего лишь замаскированная математика множеств. Так как в логике второго порядка допустимо говорить не только об объектах, но и о свойствах, можно определить множество понятий, типичных для теории множеств. Количественно оценивать свойства — в конечном итоге все равно что количественно оценивать множества, множество объектов, выполняющих свойство. Следовательно, речь идет о логике, лежащей в основе собственно теории множеств. Ее наибольшая выразительная сила, позволяющая охарактеризовать бесконечность или формализовать принцип индукции в одной-единственной аксиоме (вместо схемы аксиом, заключающей в себе бесконечности), — это обоюдоострое оружие. Мы находимся там же, где и были: если логика включает в себя теорию множеств, то логистический тезис истинный, но тривиальный; если логика его не включает, он радикально ложный.
РОЖДЕНИЕ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Логики шли на невероятные хитрости, чтобы решить проблему парадоксов. Но какое решение давали математики? Если логики хотели логифицироватъ математику, то математики хотели омножествитъ ее. Омножествление математики началось издалека. Абстрактная теория множеств была создана Кантором, но связанный с множеством подход в математике предшествовал ей. Он присутствовал у Римана и в основном у Дедекинда. Риман предложил понятие многообразия в значении, граничащем со значением множества, в качестве основания всей чистой математики. И Дедекинд выдвинул подход множеств к алгебре, введя такие понятия, как группа, тело и идеал (только понятие кольца не поддалось ему и было введено позже Гильбертом).
