Другой пример дифференциального уравнения второго порядка — второй закон Ньютона: F = m x а («сила равна произведению массы на ускорение»),
а = dv/dt = d²x /dt²,
где ускорение — это первая производная от скорости, но также вторая производная от положения, если x(t) обозначает положение движущегося тела в зависимости от времени.
Обратная ситуация — если неизвестная функция зависит от более чем одной переменной и появляются производные относительно этих переменных: это называется уравнениями в частных производных. Предположим, объем газа V — это функция от его температуры Т и давления на него Р, то есть V(T,Р). Когда Тили Р изменяются, V тоже изменяется. Производная V(T, Р) относительно Т называется частной производной относительно Т и записывается как
∂V(T,Р)/∂T.
Точно так же
∂V(T,Р)/∂P
является частной производной относительно Р. Как и в случае с обыкновенными производными, существуют вторая, третья и так далее частные производные; так, в качестве примера
∂2V(T,Р)/∂P2
представляет собой вторую частную производную относительно Р. Но дифференциальные уравнения, в которых участвуют частные производные, имеют особенные черты, принципиально отличающие их от обыкновенных. В изучении естественных явлений уравнения в частных производных появляются так же часто, как и обыкновенные дифференциальные уравнения, но обычно их намного сложнее решать.
В XVIII веке изучение физического явления в сущности было примерно тем же самым, что и нахождение дифференциального уравнения, которое им управляет. Так, после открытия Ньютоном знаменитого дифференциального уравнения «сила равна произведению массы на ускорение», которое управляет движением систем точек и твердых упругих тел, швейцарский математик Леонард Эйлер (1707-1783) сформулировал систему уравнений в частных производных, описывающую движение сплошных сред (воды, воздуха и других флюидов), не обладающих вязкостью. Через некоторое время французский математик Жозеф-Луи Лагранж (1736-1813) сосредоточился на музыке, на уравнении в частных производных, которое показывает распространение звуковых волн. Позже Жан-Батист Фурье (1768-1830) обратился к потоку тепла, предложив другое уравнение в частных производных, описывающее его распространение. В разгаре XIX века уравнения Навье — Стокса описало движение вязких флюидов, а уравнения Максвелла — электромагнетизм. Вся природа — твердые тела, флюиды, звук, тепло, свет, электричество — оказалась смоделированной посредством уравнений в частных производных. Но одно дело — найти уравнения рассматриваемого явления, а другое — решить их.
