Однако его интерес к физике не может рассматриваться в отрыве от анализа. Его внимание к анализу сменялось вниманием к физике и обратно, и в первые два десятилетия века это происходило непрерывно. Гильберт сосредоточился на двух областях, довольно близких к анализу, — вариационном исчислении и интегральных уравнениях. Действительно, в 3 из 23 проблем, которые Гильберт представил в Париже, речь шла о вариационном исчислении и, в частности, о развитии теории уравнений в частных производных.
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
Довольно долгое время уравнения (алгебраические) отвечали требованию вычислять неизвестные числа, например корни многочлена. Но в математике нередко возникают качественно другие проблемы: те, в которых неизвестное — это не число, а функция, выражающая отношение между различными переменными (как в случае с движением планет — зависимость пространственных координат от времени). Особый класс здесь — так называемые дифференциальные уравнения, определяющие неизвестную функцию на основе одного или нескольких уравнений, в которых участвуют производные функции.
Основав исчисление (дифференциальное и интегральное), Ньютон сформулировал законы физики в том виде, который связывал между собой физические величины и скорости изменения. То есть пространство, пройденное движущимся телом с его скоростью, и скорость движущегося тела с его ускорением. Итак, законы физики оказались выраженными через дифференциальные уравнения, при этом дифференциалы и производные были мерами скорости изменения. Производная функции показывает, как изменяется значение функции, если она возрастает, убывает или остается постоянной. Ускорение, например, измеряет изменения скорости движущегося тела, вариацию скорости во времени, поскольку частное дифференциалов скорости и времени есть производная скорости относительно времени:
а = dv/dt
Однако решение дифференциальных уравнений, как и алгебраических, не всегда оказывается простым, вернее никогда. Если неизвестная функция зависит от единственной переменной, они называются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Например, производная от функции синуса у = sin х равна у’ = cos х, где у’ обозначает первую производную. Эта последняя функция может быть дифференцирована, в свою очередь, для получения у" = -sin х> из чего можно вывести дифференциальное уравнение у" = -у. Это — дифференциальное уравнение второго порядка, поскольку появляется вторая производная.
