Если бы я проснулся, проспав тысячу лет, то в первую очередь спросил бы: доказали ли гипотезу Римана?
Давид Гильберт
Не так давно историк математики Тиле Рюдигер в одной из тетрадей Гильберта обнаружил, что тот хотел добавить еще одну проблему (24), которую в итоге отверг. Проблема состояла в определении критерия простоты или доказательства максимальной простоты некоторых доказательств. Гильберт намеревался развить общую теорию о методах доказательства в математике. Как ни парадоксально, через несколько лет он сам основал (см. главу 5) теорию доказательств.
Однако в списке был ряд важных упущений: несколько путей, по которым он не пошел. Матричная алгебра, статистика, логика или прикладная математика, бурно развивавшиеся в конце века, наряду с зарождающимися топологией, теорией меры и функциональным анализом для Гильберта интереса не представляли. Точно так же проблема трех тел и последняя теорема Ферма были упомянуты, но не предложены в качестве открытых проблем математики будущего.
В следующей таблице показано современное состояние 23 проблем Гильберта.
| Проблема | Описание | Состояние |
| 1 | Континуум - гипотеза | Курт Гёдель (1938) и Пол Коэн (1963) доказали ее неразрешимость как истинную или ложную на основе стандартного набора аксиом теории множеств |
| 2 | Непротиворечивость аксиом арифметики | Курт Гёдель (1931) доказал, что установление неп роти вореч и вости арифметики является формально неразрешимой проблемой |
| 3 | Определение понятия объема без применения анализа | Опровергнута Максом Деном (1902) |
| 4 | Перечисление всех метрик, прямые линии которых являются геодезическими | Положительно решена Алексеем Погореловым (1975) |
| 5 | Дифференцируются ли непрерывные группы автоматически? | Положительно решена Эндрю Глизоном (1952) |
| 6 | Математическое изложение аксиом физики | Частично решена: |
| — механика: Георг Гамель (1909); |
| — термодинамика: Константин Каратеодори (1909); |
| — специальная теория относительности: Альфред Робб (1914) и Константин Каратеодори (1923); |
| — квантовая механика: Джон фон Нейман (1932); |
| — теория вероятностей: Андрей Колмогоров (1933) |
| 7 | Является ли a>b трансцендентным, если a≠0,1 алгебраическое и b иррациональное алгебраическое? | Решена независимо Александром Гельфондом и Теодором Шнайдером (1934) |
| 8 | Гипотеза Римана и гипотеза Гольдбаха | Не решена |
| 9 | Доказательство наиболее общего закона взаимности в любом числовом поле | Решена Эмилем Артином (1923) |
| 10 | Найти универсальный алгоритм диофантовых уравнений | Отрицательно решена Матиясевичем (1970) |
