Гильберт. Основания математики | страница 29
16. Исследование топологии алгебраических кривых и поверхностей, включая (как отсылку к работе Пуанкаре) изучение числа и формы предельных циклов, являющихся решениями некоторых дифференциальных уравнений.
Слева — замощение плоскости шестиугольниками. Справа — замощение пространства усеченными октаэдрами.
18. Построение пространства на основе конгруэнтных многогранников. Будучи одной из классических проблем математики, известная как проблема паркета или бордюра, она состоит в том, чтобы определить, сколькими различными способами можно целиком заполнить плоскость одинаковыми геометрическими фигурами. Гильберт расширил ее, рассмотрев возможность заполнения пространства конгруэнтными многогранниками (см. рисунок). Так что речь шла об обобщении уже произведенного исследования групп симметрии и замощений (многие из них представлены в мозаике архитектурного ансамбля Альгамбры) двумерной плоскости до случая трехмерного пространства. Промежуточные достижения в этой области пришлись на 1910 год и принадлежат Людвигу Бибербаху (1886-1982) — математику, который в итоге присоединился к нацистской партии и сместил Гильберта. Кроме того, в этот раздел Гильберт включил знаменитую гипотезу Кеплера: какое расположение шаров одного радиуса оставляет меньше всего свободного пространства? Решение Кеплера — расположить их подобно апельсинам в корзине, как совсем недавно продемонстрировал Томас Хейлс (р. 1958).
И наконец, в блоке, посвященном анализу, находились последние пять проблем.
19. Изучение аналитичности решения регулярных задач вариационного исчисления.
20. Изучение существования решений задач вариационного исчисления с определенными граничными условиями.
21. Доказательство существования линейных дифференциальных уравнений с заданной группой монодромии.
22. Униформизация аналитических зависимостей с помощью автоморфных функций (проблема, происхождение которой лежало в работах Клейна и Пуанкаре по данному вопросу).
23. Развитие методов вариационного исчисления. Гильберт значительно способствовал прогрессу в этой области анализа (которая была напрямую связана с проблемами 19 и 20, касающимися существования, единственности и свойств решений вариационного исчисления). Эта тема обладала чрезвычайной жизнеспособностью в XX веке, что говорит об отличном чутье Гильберта, закончившего список проблем общим вопросом из этой области.
В Париже, не имея достаточно времени, Гильберт успел обозначить только 10 из своих 23 проблем: континуум-гипотезу (проблема 1); непротиворечивость арифметики (2); аксиоматизацию физических теорий (6); некоторые проблемы теории чисел, включая гипотезу Римана (7 и 8); невозможность разрешения уравнения седьмой степени (13); вопрос о кривых и поверхностях, определенных полиномиальными уравнениями (16); аналитические решения регулярных проблем вариационного исчисления (19); существование обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствующих заданным группам монодромии (21), и вопрос Пуанкаре о параметризации алгебраических кривых с помощью автоморфных функций (22).
