является трансцендентным.
8. Изучение простых чисел. Здесь Гильберт поставил ряд вопросов, связанных с распределением простых чисел. Главный вопрос — без сомнения, знаменитая гипотеза Римана, в которой предполагалось, что некоторая функция, связанная с этими числами и называемая дзета- функцией Римана ζ(z), имеет все свои нули на прямой Re(z) = ½ комплексной плоскости, то есть все ее нули — комплексные числа с действительной частью, равной ½. На сегодняшний день она все еще не доказана, хотя с помощью компьютера было проверено, что первые 1,5 триллиона нулей выполняют эту гипотезу. Гильберт также упомянул гипотезу Гольдбаха (согласно которой любое четное число может быть выражено в виде суммы двух простых чисел), существование бесконечного числа простых чисел-близнецов (то есть простых чисел, разность между которыми равна 2) и так далее.
9. Доказательство наиболее общего закона взаимности в любом числовом поле.
10. Определение разрешимости диофантовых уравнений.
11. Исследование квадратичных форм с произвольными алгебраическими коэффициентами.
В блоке алгебры — следующие проблемы.
12. Распространение теоремы Кронекера об абелевых полях на произвольную алгебраическую область рациональности.
13. Невозможность решения общего уравнения седьмой степени с помощью функций, зависящих только от двух переменных.
14. Доказательство конечности некоторых полных систем функций.
17. Представление определенных форм в виде сумм квадратов.
В блоке геометрии...
15. Строгое обоснование исчислительной геометрии Германа Шуберта (1848-1911).
ДЕСЯТАЯ ПРОБЛЕМА ГИЛЬБЕРТА
Это одна из значительных проблем, которая кажется простой, хотя это не так. Заключается она в поиске общего способа, позволившего бы выяснить, имеет ли диофантово уравнение целые решения или нет, без необходимости вычислять их. Диофантовы уравнения — это уравнения, в которых участвует только один многочлен с целыми коэффициентами и нужно найти все целые решения. Уравнения носят имя греческого математика Диофанта (III век), ими занимавшегося. В частности, знаменитое уравнение x>n+y>n=z>n последней теоремы Ферма — это диофантово уравнение (в 1995 году Эндрю Уайлсу (р. 1953) удалось доказать, что у этого уравнения нет целых решений, отличных от нуля, если п больше 2). Проблема оставалась открытой, пока в 1970 году теория чисел и математическая логика не объединились: советский математик Юрий Матиясевич (р. 1947), следуя идеям Мартина Дэвиса (р. 1928), Хилари Патнем (р. 1926) и Джулии Робинсон (1919-1985), смог доказать, что такого алгоритма не существует. Перенесшая операцию на сердце Джулия Робинсон на свой день рождения обычно загадывала желание: «Пусть кто-нибудь решит десятую проблему Гильберта. Я не успокоюсь, пока ответ не будет найден». Любопытно, что ее старшая сестра Констанс Рейд (1918-2010) написала лучшую биографию Давида Гильберта.
