Гильберт. Основания математики | страница 27
4. Проблема отрезка прямой как кратчайшего расстояния между двумя точками. Гильберт предлагает продолжить исследование различных возможных аксиоматических геометрий с учетом того, к какой группе аксиом может привести результат, позволяющий сделать вывод, что в любом треугольнике сумма двух его сторон всегда больше третьей, а следовательно, отрезок прямой — это кратчайший путь между двумя точками. Хотя эта проблема сформулирована слишком расплывчато, она стала более точной в области геометрии Римана, когда требуется построить все возможные расстояния так, чтобы обычные прямые линии оказались геодезическими (кратчайшими путями).
Математический клуб Гёттингена, 1902 год. В центре Клейн, основатель клуба, справа от него Г ильберт.
Математик Герман Минковский в молодости. С Гильбертом их связывала крепкая дружба до самой смерти Минковского в 1909 году.
Гильберт и Кёте Ерош, на которой он женился в 1892 году.
5. Анализ понятия, введенного Софусом Ли (1842-1899) в отношении группы трансформаций, за исключением гипотезы о дифференцируемости функций, входящих в состав группы.
6. Математический подход к аксиомам физики. Гильберт был заинтересован в аксиоматизации различных областей физики (в особенности механики и вычисления вероятностей, которое в то время набирало силу как инструмент термодинамики), чтобы определить им формат, наподобие геометрии, ведь ее он считал практически эмпирической наукой. В решении этой проблемы уже наметился сдвиг благодаря физикам Эрнсту Маху (1838-1916) и Генриху Герцу, но математики ею еще не занимались. Программа аксиоматизации физики добилась (как станет ясно в следующей главе) определенных побед в первые десятилетия XX века.
В рамках блока теории чисел Гильберт выделил пять проблем.
7. Иррациональность и трансцендентность некоторых чисел. Трансцендентное число — это тип иррационального числа, которое не является корнем из какого-либо многочлена с целыми коэффициентами. В противоположность ему алгебраическое число — это любое число, являющееся решением полиномиального уравнения с целыми коэффициентами. Поскольку было известно не так уж много трансцендентных чисел (кроме π и e), Гильберт сформулировал конкретный вопрос: если a — это алгебраическое число (отличное от 0 и 1), а b — иррациональное алгебраическое число, является ли а>ь трансцендентным? Для Гильберта это было одной из самых сложных проблем в списке. Однако в 1934 году Александр Гельфонд (1906-1968) и Теодор Шнайдер (1911— 1988) доказали, что это так. В частности, √2
