Новый взгляд на мир. Фрактальная геометрия | страница 65

В следующей таблице приведены значения z, z^>2, z^>4, z^>8, z^>16, z^>32 для трех разных комплексных чисел: внутри единичной окружности (иными словами, модуль этого числа меньше единицы), на единичной окружности и, наконец, вне единичной окружности. На рисунке приведено геометрическое представление всех трех случаев.

В таблице вверху приведены расчеты для трех типов орбит.

Орбита, описанная в левой части таблицы, стремится к началу координат; та, что в центре таблицы, описывает единичную окружность; та, что справа, уходит в бесконечность.

На рисунках представлено графическое изображение этих трех орбит на комплексной плоскости.

Мы видим, что для точки внутри окружности орбита стремится к началу координат, для точки вне окружности — уходит в бесконечность, а точка, которая находилась на единичной окружности, по-прежнему остается на ней. Чем больше модуль исходного числа, тем быстрее оно удаляется от единичной окружности. Таким образом, комплексная плоскость делится на две части: «пленников», которые находятся внутри единичной окружности, и точек вне ее, которым «удалось сбежать». В этом случае множество Жюлиа представляет собой единичную окружность — множество точек-«охранников». Заметим еще один факт (впоследствии он сыграет очень большую роль): множество Жюлиа инвариантно по отношению к квадратичной функции, то есть любая орбита, начало которой находится на множестве Жюлиа, останется на этом же множестве.

Заметим, что существуют две фиксированные точки: (0, 0) и (1, 0). В этом случае точка (0, 0) является аттрактором, так как к ней стремятся орбиты всех точек внутри окружности. Говорят, что в этом случае внутри единичной окружности располагается область притяжения аттрактора — точка (0, 0). Точка (1, 0) является неподвижной точкой — репеллером, так как рядом с ней существуют точки, например, (1, 01, 0), орбиты которых уходят в бесконечность.

Если мы будем считать бесконечность еще одной точкой плоскости и обозначим ее знаком <*>, то будем говорить, что точка °° является неподвижной, а ее область притяжения будет состоять из всех точек, лежащих вне единичной окружности.

Единичная окружность — простейший пример множества Жюлиа. Оно обладает теми же свойствами, что и большинство множеств Жюлиа: оно является границей области притяжения аттрактора (0, 0) и

Частный случай z_>n+1 = z_>n^>2, который обычно записывается в виде z —>