Новый взгляд на мир. Фрактальная геометрия | страница 66

Чтобы получить изображение других множеств Жюлиа, например для с = 0,5 + 0,5i, нам понадобится помощь компьютера. В теории для каждой точки плоскости нужно подтвердить, что ее орбита стремится к нулю или к бесконечности. На практике это невозможно, поэтому, чтобы изобразить множество Жюлиа, нужно использовать альтернативные алгоритмы.

На следующем рисунке показана таблица с данными для орбит нескольких точек, а также изображение множества Жюлиа, соответствующего с = 0,5 + 0,5i.

Три орбиты, которые уходят в бесконечность.

Орбиты для некоторых точек при с = 0,5 + 0,5i.

В верхней таблице орбиты всех точек уходят в бесконечность. В нижней таблице все орбиты стремятся к определенной неподвижной точке (-0,409, 0,275).

При рассмотрении таблиц можно увидеть, что если начальная точка очень удалена от центра, то есть модуль ее радиус-вектора очень велик, то орбита этой точки будет уходить в бесконечность. Но начиная с какого значения выполняется это правило? К счастью, на этот вопрос существует точный ответ. В общем случае радиус окружности будет наибольшим из двух чисел: 2 и модуля с. Любая орбита, начальная точка которой лежит вне этой окружности, будет уходить в бесконечность. Этот результат крайне важен для определения множества Мандельброта, что мы продемонстрируем несколько позже.

На основе этого факта можно разработать алгоритм, который позволит точно определить множество точек-«пленников». Первым приближением границы для с = 0,5 + 0,5i будет окружность радиуса 2. Если мы запрограммируем этот алгоритм так, что он будет обрабатывать пиксели экрана (каждой точке будет соответствовать пиксель), то получим очень большое множество точек (в зависимости от выбранной точности). Тем не менее это множество будет конечным. Компьютер вычислит значение выражения на первой итерации и пометит определенным цветом точки, которые уже на первой итерации оказались вне окружности радиуса 2. Остальные точки будут помечены черным цветом. Граница множества черных точек будет вторым приближением множества Жюлиа. Для оставшихся черных точек (на каждой итерации их будет все меньше) произведем вторую итерацию вычислений и выделим цветом точки, которые окажутся вне круга радиуса 2. Остальные точки по-прежнему будут черного цвета.

Эти действия будут повторяться для всех точек черного цвета, которых с каждым разом будет становиться все меньше, пока изменения множества черных точек не станут неразличимы на экране. Этот алгоритм, который называется алгоритмом времени убегания (escape time), для