Новый взгляд на мир. Фрактальная геометрия | страница 40

Можно получить покрытие кратности 3, как показано на следующем рисунке, но покрытие кратности 2 уже невозможно.

Заданная область, каждый участок которой покрыт не более чем тремя печатями.

_{>(Источник: Мария Изабель Бинимелис.)}

В целом говорят, что множество имеет топологическую размерность п, если наименьшая возможная кратность его покрытия равна n + 1. Следовательно, говорят, что топологическая размерность первой фигуры (кривой) равна 1, размерность второй фигуры (области) равна 2. Точка является 0-мерной, линия — одномерной, плоскость — двумерной, а евклидово пространство ^>n является n-мерным.

С этой точки зрения размерность произвольного пространства (точки, линии, поверхности и других) соответствует минимальному числу параметров, необходимых, чтобы описать различные точки этого пространства. Например, чтобы описать все точки плоскости, достаточно всего двух координат: абсциссы (которая, например, определяет длину) и ординаты (определяет ширину). Пространство требует наличия уже трех координат: длины, ширины и высоты.

Необходимость ввести определение топологической размерности была в значительной степени вызвана тем, что традиционное определение размерности (в котором фигурировали интуитивно понятные и неточные термины, например «тонкость») было поставлено под сомнение в последние годы XIX в. Первое определение следует из доказательства Кантора, которое подтверждает взаимно однозначное соответствие между множеством точек вещественной прямой ^>1 и вещественной плоскости ^>2.Второе определение основано на том, что существует непрерывная функция ^>1 на 

Одна из задач вычислений — это выполнение различных измерений, например, измерение длин кривых, площадей фигур, объемов тел и так далее. Иногда точно измерить длину кривой непросто, но можно получить приближенный результат с очень хорошей точностью, используя спрямление кривой (приближение кривой ломаными линиями или полигональное приближение). Чем меньше отрезки ломаной линии, тем точнее результат. На следующем рисунке показано приближение синусоидальной кривой отрезками ломаной линии, расположенными так, что концы отрезков лежат на этой кривой.

Приближение кривой ломаными.

Кривая называется спрямляемой, если длины вписанных в нее ломаных стремятся к определенному общему значению L, когда длины отрезков ломаных стремятся к нулю, то есть отрезки становятся все короче и короче. Это общее значение