Новый взгляд на мир. Фрактальная геометрия | страница 39
Пуанкаре заново рассмотрел этот вопрос, оперируя похожими терминами, и ввел понятие топологической размерности. Он дал такое определение: пространство имеет размерность n, если его можно каким-либо способом разделить пространством, имеющим размерность n — 1. Однако, чтобы это определение стало более строгим, нужно корректно определить значение формулировки «каким-либо способом разделить». В 1913 г. первую попытку уточнить это определение предпринял Брауэр, затем десять лет спустя Урысон. Каждый привел различные толкования, но для локально связных пространств они совпадают. Так, в настоящее время наиболее важными считаются три определения топологической размерности: индуктивное определение Урысона (и Менгера), индуктивное определение Брауэра (и Чеха), а также размерность Лебега, определенная посредством покрытий[16].
Топологическую размерность Лебега (далее мы будем именовать ее просто топологической размерностью) очень удобно использовать для множеств, имеющих неправильную структуру.
Наглядно изобразить топологическую размерность очень просто. Покрытием подмножества S на
Покрытие кривой с кратностью 2.
>(Источник иллюстраций на этой странице: Мария Изабель Бинимелис.)
Аналогичные действия можно выполнить для любой части заданной плоскости. Приведем простую аналогию. Пусть нужно закрасить определенную область зеленым цветом. У нас есть одна или несколько печатей, которые могут иметь круглую или другую форму. Покрытием этой области будет раскрашивание ее в зеленый цвет без промежутков. Очевидно, что некоторые участки будут покрыты несколько раз, поэтому они будут окрашены в более темный цвет. Выберем из всех таких участков один (или несколько) самого темного цвета, то есть такой, который был закрашен наибольшее число раз, и назовем это число кратностью покрытия. Взгляните на рисунок ниже.
Рассмотрим первое покрытие (слева) и обратим внимание на маленький участок, почти точку, закрашенный черным цветом: он покрыт пятью печатями, и нет никакого другого участка, который был бы покрыт большее число раз. Следовательно, кратность этого покрытия равна пяти. Можно ли уменьшить эту кратность? Иными словами, можно ли поставить печать на всех точках поверхности, не покрывая какую-либо точку пять раз? На рисунке справа видно, что это возможно: мы слегка уменьшили площадь печатей (каждая из них содержится внутри соответствующей печати, расположенной в том же месте на рисунке слева), и вся нужная область оказалась покрытой полностью. Это новое покрытие называется подпокрытием предыдущего. Для нового покрытия кратность уменьшилась до четырех.
