Новый взгляд на мир. Фрактальная геометрия | страница 38
К деревьям в этом смысле можно отнести все случаи ветвления с самоподобием: деревья, кусты и растения, бассейны рек, молнии и так далее.
Некоторые растения и бассейны некоторых рек при наблюдении с высоты имеют фрактальную структуру.
Кривые, поверхности и объемные тела могут быть столь сложны, что измерение их параметров может вызвать серьезные затруднения. Однако длина, площадь и объем не изменяются произвольно в зависимости от выбранного масштаба, и существуют законы, позволяющие вычислить одну из этих величин, если известна другая. Закон, открытый Ричардсоном (а также открытия Корчака, Ципфа и Херста), согласно которому длина является степенной функцией точности с показателем степени d, будет полезен в обсуждении нового понятия — размерности.
В начале XX в. одной из крупнейших задач математики было определение размерности и ее свойств. Ситуация осложнилась, когда начали появляться различные виды размерности: топологическая, размерность Хаусдорфа, фрактальная, самоподобия и многие другие. Все они связаны между собой, в определенных ситуациях некоторые из них имеют смысл, а другие нет, иногда они совпадают, иногда отличаются. Вопреки тому, что можно было бы ожидать, не следует думать, будто существует некое единственное определение размерности, которое полностью раскрывает смысл этого понятия. Поиски единого приемлемого универсального определения, подобно поискам Святого Грааля, оказались безрезультатны.
Джеральд А. Эдгар в своей книге Measure, Topology and Fractal Geometry («Измерения, топология и фрактальная геометрия») так иллюстрирует понятие размерности:
«Пусть дана точка в трехмерном пространстве. Мы можем заключить ее внутрь куба, словно в тюрьму. Куб образован шестью плоскими гранями. Следует учитывать, что эти грани являются двумерными. Мы можем заключить точку на одной из этих граней в „тюрьму“, нарисовав вокруг нее небольшую окружность. Если грани куба являются двумерными, то нужно понимать, что окружность является одномерной. Точка, которая находится внутри одной из окружностей, может быть заключена в „тюрьму“ с помощью двух точек, которые будут стенами „тюрьмы“. Следует учитывать, что множество, содержащее всего две точки, имеет нулевую размерность. Наконец, точка, которая находится на множестве из двух точек, уже не может двигаться. Чтобы заключить ее в „тюрьму“, не нужно стен. По определению, это множество имеет размерность 0».
Идея определения размерности по индукции восходит к «Началам» Евклида, где неявно приводится похожая формулировка: говорят, что фигура является одномерной, если ее граница состоит из точек; двумерной, если ее граница образована кривыми; трехмерной, если ее граница состоит из поверхностей.
