Новый взгляд на мир. Фрактальная геометрия | страница 37
Для раствора циркуля, эквивалентного 50 км, наилучшим приближением окружности будет шестиугольник со стороной в 50 км и периметром в 300 км. Если в качестве приближения окружности мы выберем 12-угольник со стороной 25,882 км, то приближенное значение ее длины составит 310,584 км, для 24-угольника со стороной 13,053 км — 313,272 км, для 48-угольника со стороной 6,54 км — 313,92 км, для 96-угольника со стороной 3,272 км — 314,112 км и для 192-угольника со стороной 1,636 км снова получим длину, равную 314,112 км. Мы видим, что по мере уменьшения раствора циркуля приближенное значение длины окружности все ближе и ближе к реальному.
Однако при измерении длины побережья Мальорки все иначе. Если в качестве приближения выберем многоугольник со стороной 28 км, получим периметр 362,2 км, для многоугольника со стороной 14 км периметр будет равен 416,7 км, при стороне, равной 7 км, периметр будет равен 467,7 км, при стороне 3,5 км периметр достигнет 524,8 км.
В обоих случаях точки графика с хорошей точностью аппроксимирует прямая. Очевидно, нельзя ожидать, что точки будут лежать точно на одной прямой — это невозможно в силу неизбежной погрешности измерений. В случае с окружностью прямая расположена практически горизонтально; для береговой линии Мальорки прямая имеет наклон (угловой коэффициент d = 0,17). Уравнение прямой можно выразить в виде log l = d∙log (1/s) + k, где l — приближенное значение периметра для раствора циркуля s; d — рассчитанный угловой коэффициент прямой; k — некая постоянная. При переходе к экспоненциальной форме получим:
l = с/s>d,
где с — основание логарифма в степени k.
Заметьте, насколько эта формула похожа на закон Корчака.
Итог работы Ричардсона таков: традиционное понятие длины при измерении береговой линии не имеет смысла. Он предложил использовать новую величину, которую можно назвать «морщинистость», определяемую значением углового коэффициента d из предыдущего примера. Для реальных границ и побережий были получены следующие значения d:
d = 0,25 для западного побережья Британии, одного из самых изрезанных заливами берегов на планете;
d = 0,15 для границы Германии;
d = 0,14 для границы Испании с Португалией;
d = 0,13 для побережья Австралии;
d = 0,02 для южноафриканского побережья, одного из наиболее ровных берегов.
Фрактальные объекты в природе обычно можно увидеть в границах и деревьях.
К границам относятся границы между любыми двумя средами в биологии, физике, химии и так далее, а также между двумя разными поверхностями: границы между странами, берега рек, морские побережья, облака и многое другое.
