Новый взгляд на мир. Фрактальная геометрия | страница 36
Приближенные вычисления длины береговой линии острова Мальорка, выполненные с различной точностью. Измерения слева производились отрезком большей длины, чем на иллюстрации справа. Нетрудно видеть, что точность измерения на рисунке справа выше. Удивительно, но в соответствии с эффектом Ричардсона с ростом точности пределом измерений будет не истинная длина береговой линии, а бесконечность.
В свое время научное сообщество проигнорировало исследования Ричардсона, однако сегодня они считаются крайне важными, так как дали толчок к изучению фракталов. Бенуа Мандельброт цитирует Ричардсона в известной статье 1967 г. под названием «Какова длина побережья Великобритании?». В этой статье Мандельброт объясняет, что понятие длины для объектов неправильной формы, например для побережья, не имеет смысла. Как следствие, математики определили число, которое являлось бы количественной оценкой площади подобных объектов неправильной формы. Это число — экстраполяция числа «привычных» измерений объектов классической геометрии (одно, два, три измерения и так далее). Следовательно, «неевклидовы» объекты неправильной формы подобного типа часто имеют дробное число измерений.
Геометрия Евклида, в которой число измерений может быть только целым, не отражает всей сути фигур неправильной формы. Эксперимент Ричардсона равносилен вычислению длины в разных масштабах. Если мы измерим длину побережья из космоса, то полученный результат будет меньше, чем если мы, подобно муравью, пройдем вдоль всего побережья, считая каждую песчинку.
Рассмотрим в качестве примера клубок ниток. Издалека он кажется точкой, иными словами, фигурой с нулем измерений. Если наблюдатель подойдет ближе, то увидит, что клубок напоминает сферу, то есть имеет три измерения. Если он еще приблизится, то увидит, что в клубок свернута одна нить; таким образом, клубок будет иметь всего одно измерение. Когда наблюдатель приблизится настолько, что сможет рассмотреть структуру нити, то клубок снова станет трехмерным, поскольку станут видны отдельные волокна, из которых состоит нить. Подобный процесс можно продолжать и далее. Таким образом, очевидно, что о числе измерений клубка ниток нельзя говорить объективно: все зависит от положения наблюдателя, то есть от масштаба наблюдений.
Продемонстрируем эффект Ричардсона, сравнив приближенное значение длины окружности с одной стороны и периметр острова Мальорка — с другой. Пусть окружность имеет диаметр 100 км — это величина одного порядка с диаметром острова. Длина окружности будет в 71 раз больше диаметра, то есть 314,15… км. Поместим результаты на логарифмическую шкалу, чтобы лучше оценить результаты для разных растворов циркуля, которые мы будем применять при измерениях. Отметим на горизонтальной оси логарифм величины, обратной раствору циркуля, что можно интерпретировать как точность измерений: при малом растворе циркуля s точность измерений 1/s будет выше. На вертикальной оси будем отмечать логарифмы от рассчитанных значений периметра.
